Lesky, P: Charakterisierung der klassischen kontinuierlichen

Die Polynome von Jacobi, Laguerre und Hermite sind als klassische Orthogonalpolynome bekannt und vorwiegend in der mathematischen Physik von Bedeutung.Bereits bei diesen Polynomen wird das Problem einer Charakterisierung im allgemeinen ausgeklammert. Verschiedene Eigenschaften stünden dafür zur Verfügung: Eigenwertprobleme mit Differentialgleichungen zweiter Ordnung (gekoppelt mit dreigliedrigen Rekursionen bezüglich des Polynomgrades), Rodriguesformeln, zweigliedrige Koeffizientenrekursionen, (q-) Ableitung der Polynome liefert ebenfalls ein Orthogonalsystem.Die Charakterisierungen werden über Eigenwertprobleme erfolgen: Die Polynomlösungen der Differential-, Differenzen- und q - Operatorgleichungen zweiter Ordnung genügen ohne Beziehung zu etwaiger Orthogonalität dreigliedrigen Rekursionen (bezüglich des Polynomgrades). Der Satz von Favard bringt notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß die aus den dreigliedrigen Rekursionen hervorgehenden Polynome ein (positiv definites) Orthogonalsystem bilden. Damit können aus diesen Rekursionen alle möglichen Orthogonalfälle für die Polynomlösungen erschlossen werden.