Handbuch der Physikalischen Maassbestimmungen
Erster Band
-~-- Wahrend fUr den beschreibenden Teil der Physik wie fiir den theoretisehen eine erhebliche Anzahl von teils das Gesammtgebiet der Physik, teils einzeine Abschnitte derselben behandelnden Lehrbiichern existirt, ist der sich auf Maassbestimmungen...
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Produktinformationen zu „Handbuch der Physikalischen Maassbestimmungen “
Klappentext zu „Handbuch der Physikalischen Maassbestimmungen “
-~-- Wahrend fUr den beschreibenden Teil der Physik wie fiir den theoretisehen eine erhebliche Anzahl von teils das Gesammtgebiet der Physik, teils einzeine Abschnitte derselben behandelnden Lehrbiichern existirt, ist der sich auf Maassbestimmungen beziehende Teil in Deutsch land selbstandig nur einmal, von Kohlrausch, bAarbeitet worden, und hier auch nur insoweit, als er bei ersten physikalischen Arbeiten als Leitfaden dienen sollte. Allerdings enthalten die meisten Lehr Mcher liber Physik zugleieh aueh Anweisungen zu physikalischen Messungell, indessen sind solche Anweisungen nur selten eingehend entwiekelt, meist wird dem Leser iiberlassen, aus den Beschreibungen der Versuehe, die zu den betreffenden physikalischen Erfahrungen ge fiihrt haben, sich selbst Untersuchungsmethoden abzuleiten. Die Rechenmethoden werden fast gar nicht ueriihrt, und doeh bleiben fiir quantitative Bestimmungen die sehonsten Arbeitell fruchtlos, wenn die Ergebnisse nieht nach richtigen und insbesonderenaeh festen und ge meinsamen, jeder subjeetiven Willkiir enthobenen Principien berechnet werden. Freilich ist die Lehre von den physikalischen Maassbestim mungen noeh relativ jung, aber sie hat sich auf den Grundlagen, die ihr G a u s s in so bewunderungswiirdiger Weise verliehen hat, doch schon in ziemlicher Vollkommenheit entwickelt, ihre Methoden sind vielseitig ausgeLildet, ihre Regein haben sieh in der Erfahrung als zweckmassig erwiesen, und die Genauigkeitder Resultate, die mit ihrer Hilfe abgeleitet werden konnen, darf bald mit der so viel und mit Recht bewunderten Genauigkeit astronomischer Maasshestimmungen wetteifern. Sie kann jetzt schon als selbstandige Disciplin behandelt werden, und wenn sie aueh ohne Kenntnis ihrer Sehwesterwissen schaften, der beschreibenden und theoretisehen Physik, und namentlich IV Vorwort.
Inhaltsverzeichnis zu „Handbuch der Physikalischen Maassbestimmungen “
- Inhaltsverzeichniss- Erster Abschnitt. Die Beobachtungsfehler und die Theorie ihrer Ausgleichung
I. Uebersicht über die möglichen Fehler bei Beobachtungen
1. Fehlerquellen
2. Fehler der Umgebung
3. Fehler der Instrumente
4. Fehler des Beobachters
5. Schätzungsfehler
6. Persönliche Fehler
7. Fehler der Voreingenommenheit
8. Allgemeine Regel über die Wiederholung von Beobachtungen. Constante Fehler
9. Controlirbare und nicht controlirbare Fehler
10. Zufällige Fehler
11. Unterschied zwischen Untersuchen und Verificiren
II. Problem der Ausgleichungsrechnung; Messungen und Untersuchungen
12. Möglichkeit fehlerfreier Beobachtungen
13. Aufgabe der zu schaffenden Analyse
14. Wahre Resultate und wahrscheinlichste Resultate; wahre Fehler und wahr-scheinlichste Fehler. Festsetzung über die Bezeichnungen
15. Klassificirung der physikalischen Arbeiten
16. Messungen und Untersuchungen
17. Stellung des Problems
18. Fehler der Beobachtungsgleichungen nach ihrem Ansatz, Fehler nach ihrer Ausgleichung
19. Der Darstellungsfehler
20. Die übrig bleibenden Fehler
21. Praktische Vereinfachung durch Abwälzung aller Fehler auf die zu be-stimmende Grösse
22. Principielle Notwendigkeit die einzelnen Fehler aus einander zu halten
23. Kritische Bedeutung der übrig bleibenden Fehler
24. Fassung des Problems
III. Allgemeine Theorie der Ausgleichungsrechnung
a) Fehlerwahrscheinlichkeit
25. Wahrscheinlichkeit eines Fehlers
26. Wahrscheinlichkeit für das Zusammenwirken mehrerer bestimmter Fehler
27. Welches Fehlersystem am ehesten zu erwarten ist
b) Ausgleichung von Messungen
28. Ausgleichungsformel für Messungen
c) Ausgleichung von Untersuchungen
29. Ausgleichungsformeln für Untersuchungen
30. Die Ausgleichungsformeln bestehen nur, wenn die Wahrscheinlichkeiten der Fehler von den bezüglichen Grössen dieser nicht unabhängig sind
31. Die Ausgleichungsformeln ersetzen die Beobachtungsgleichungen in jeder Hinsicht
32. Vereinfachung der Ausgleichungsformeln
... mehr
durch Einführung von Näherungs-werten
d) Die Wahrscheinlichkeitsfunction für Fehler, die ihrer Grösse oder ihrer wahrscheinlichen Ursache nach bekannt sind
33. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunction, wenn die in der Unter-suchung wahrscheinlich vorgefallenen Fehler bekannt sind
34. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunction, wenn die wahrscheinliche Ursache der Fehler bekannt ist
35. Beispiel
36. Uncontrolirbare Fehler als zufällige aufgefasst
- Zweiter Abschnitt. Theorie der zufälligen Fehler; Ausgleichung ein-facher Messungen
IV. Theorie der zufalligen Fehler; Princip des arithmetischen Mittels
a) Messungen gleicher Schärfe
37. Zufällige Fehler können Resultate ebenso gut im Sinne des zu Viel als des zu Wenig verfälschen
38. Das Bernouilli'sche "Gesetz der grossen Zahlen"
39. Die Häufigkeiten der einzelnen zufälligen Fehler stehen im Verhältnis zu den bezüglichen Wahrscheinlichkeiten
40. Jeder zufällige Fehler darf ebenso oft als positive wie als negative Grösse erwartet werden
41. Algebraische Summe aller Fehler von bestimmter Grösse
42. Algebraische Summe aller möglichen Fehler
43. Uebergang zum Princip des arithmetischen Mittels
44. Verhältnis der algebraischen Summe aller Fehler zu der absoluten Summe derselben
45. Durchschnittlicher Fehler und Resultirender Fehler
40. Erfahrungsmässig fallen grosse Fehler sehr viel seltener vor als kleine
47. Der durchschnittliche Fehler nähert sich mit wachsender Anzahl der Messungen einem bestimmten endlichen Grenzwert, der resultirende con-vergirt gegen Null
48. Princip des arithmetischen Mittels
b) Messungen ungleicher Schärfe
49. Was einer Messmethode an Schärfe fehlt, kann durch Häufung der Einzel-messungen ersetzt werden
50. Ersetzung einer guten Einzelmessung durch mehrere weniger gute Einzel-messungen
51. Gewicht einer Messung; Bestimmung äquivalent dem Resultat wiederholter Messungen
52. Ausdehnung des Princips vom arithmetischen Mittel auf Bestimmungen ungleicher Schärfe
53. Analogieen mit anderen Berechnungen
54. Die übrig bleibenden und der resultirende Fehler
c) Die Wahrscheinlichkeitsfunction für Messungen gleicher Schärfe
55. Unterschied zwischen der Ausgleichungsfolrmel und dem Princip des arithmetischen Mittels
56. Wahrscheinlichkeitsgesetz für wahre Fehler
57. Beziehung zwischen den Constanten A und h
58. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in ihrer Abhängigkeit von der Präcision der Messung
59. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in ihrer Abhängigkeit von der Grösse desselben. Die Wahrscheinlichkeitscurve
d) Die charakteristischen Fehler
60. Einführung des mittleren Fehlers als desjenigen Fehlers, der bei der gerade benutzten Messmethode seine grösstmögliche Wahrscheinlichkeit besitzt
61. Der mittlere Fehler als Maass der Präcision einer Methode
62. Die Curve der mittleren Fehler, die Präcisionscurve, ist eine Hyperbel
63. Der resultirende und der durchschnittliche Fehler
64. Die Wahrscheinlichkeiten der charakteristischen Fehler
65. Der mittlere Fehler als Quadratwurzel des mittlern Fehlerquadrats
- 66
67. Einführung des wahrscheinlichen Fehlers
68. Der wahrscheinliche Fehler als die mittlere Nullte Potenz der Fehler
69. Satz für die zahlenmässige Berechnung der Präcisionsconstante und der Anzahl der Fehler vom Betrage Null
e) Andere Formen für das Wahrscheinlichkeitsgesetz; Theorie von Laplace
70. Zwei neue Formen für das Wahrscheinlichkeitsgesetz
71. Die Laplace'sche Ableitung des Wahrscheinlichkeitsgesetzes
72. Notwendige Aenderung
73. Specialisirung der der Laplace'schen Theorie zu Grunde liegenden Hypo-thesen; Erweiterung durch Bessel
74. Die charakteristischen Fehler nach der Laplace'schen Theorie. Zusammen-hang mit dem grösstmöglichen Fehler
f) Verteilung der Fehler ihrer Grösse nach
75. Das Verteilungsgesetz
76. Specielles Beispiel
77. Analogie aus der kinetischen Gastheorie
g) Bestimmungen ungleicher Schärfe
78. Zwei Kategorieen
79. Wahrscheinlichkeitsfunction
80. Zusammenhang zwischen dem wahren mittlern Fehler einer Bestimmung und dem Gewicht derselben
81. Anwachsen der Genauigkeit einer Bestimmung mit dem Gewicht
82. Verteilung der Fehler in verschieden scharfen Bestimmungsreihen
83. Verhältnisse zwischen entsprechcnden Fehlern zweier ungleich scharfer Methoden
84. Wie sich die zu erwartenden Fehler ändern, wenn das Gewicht einer Bestimmungsreihe geändert wird
85. Die wahrscheinlichsten Werte für die charakteristischen Fehler einer aus Bestimmungen ungleichen Gewichts zusammengesetzten Bestimmungsreihe
86. Messungen zu Gruppen zusammen zu fassen ist nur unter besondern Ver-hältnissen zu empfehlen
h) Wahrscheinlichkeit für Fehlersysteme, Ursprung der Methode der kleinsten Quadrate
87. Wahrscheinlichkeit eines Systems von Fehlern
88. Die Ausgleichungsrechnung als Methode der kleinsten Quadrate
89. Das wahrscheinlichste System von Fehlern ist dasjenige, dessen mittlerer Fehler ein Minimum ist
90. Der mittlere Fehler als Fehler, der bei einer Messungsreihe im Ganzen zu erwarten steht. Andere Bedeutung des Axioms vom Minimum des mittleren Fehlers
V. Uebergang von den wahren Verhältnissen zu den wahrscheinlichsten. Praktische Ausgleichungsrechnung
91. Die Praxis kann sich nicht mit wahren, sondern nur mit wahrscheinlichsten Fehlern beschäftigen
92. Zwei Gründe, aus denen die charakteristischen Fehler in der Wirklichkeit nicht genau berechnet werden konnen
93. Die wahrscheinlichsten Fehler weichen alle um eine und dieselbe Grösse, den resultirenden Fehler, von den wahren Fehlern ab
94. Berechnung der charakteristischen Fehler aus den wahrscheinlichsten Fehlern
95. Die Rechnungen liefern angenäherte wahre, nicht blos wahrscheinlichste Werte für die charakteristischen Fehler
96. Berechnung der Präcision
97. Einfluss der Beschränktheit der Messungswiederholungen auf die Be-rechnung der Präcision und der charakteristischen Fehler. Die wahr-scheinliche Unsicherheit dieser Berechnung. Relativ am geringsten ist dieselbe bei der des mittlern Fehlers
98. Zusammenfassung
99. Unterschied zwischen Theorie und Praxis hinsichtlich der Beurteilung des Resultats einer Messungsreihe
100. Die charakteristischen Fehler und die Präcision des Resultats
- 100a. Der mittlere Fehler des Resultats ist zugleich der wahrscheinlichste Fehler desselben
VI. Uebersicht über die erlangten Ergebnisse
101. Gegenstand, Resultate
a) Theoretische Ergebnisse
102. Messungen gleicher Schärfe
103. Messungen ungleicher Schärfe
b) Ergebnisse für die praktische Anwendung
104. Das wahrscheinlichste Resultat und die wahrscheinlichsten Fehler
105. Die charakteristischen Fehler und die Präcision der einzelnen Messungen
106. Charakteristische Fehler und Präcision des Resultats
107. Die Zeichen der charakteristischen Fehler und die Bedeutung der Hinzu-fügung dieser zu den Messungen und Resultaten
VII. Kritik Von Beobachtungen und ihrer Ausgleichung
108. Zu discutirende Fragen
a) Bemerkungen über systematische Fehler
109. Systematische Fehler aus der Unkenntnis der Einflüsse, denen die zu messende Grösse unterliegt
110. Systematische Fehler in Einrichtung und Ausführung der Messung
111. Bedingungen zur Vermeidung und Auffindung systematischer Fehler
b) Formale Kriterien für die Zufälligkeit übrig gebliebener Fehlerreihen
112. Die übrig bleibenden systematischen Yerfälschungen
113. Anordnung der Fehlerreihe
114. Die beiden Haupteigenschaften der zufalligen Fehler
115. Kritik der Grösse der einzelnen Fehler; auszuschliessende Beobachtungen
116. Kriterien aus den Zeichen, Zeichenwechsel und Zeichenfolgen
117. Seeliger's Formulirung der Zeichen-Kriterien
118. Das Abbe'sche Kriterium
119 a. Kriterien für die Giltigkeit des Wahrscheinlichkeitsgesetzes
119 b. Kriterien aus dem Verteilungsgesetz der Fehler
120. Kriterien aus den Beziehungen zwischen den charakteristischen Fehlern
121. Zeichenkriterien aus den Differenzenreihen der Fehler
122. Kriterien aus dem Verschwinden von Differenzenreihen
123. Neue Fassung des Abbe'schen Kriteriums als Satz von der mittlern ersten Fehlerdifferenz
124. Beispiel
125. Kriterium aus der Zu- und Abnahme der Fehlerbeträge
126. Der Wert der Kriterien und die Notwendigkeit eingehender Protokolle
127. Zusammenstellung der Kriterien für zufällige Fehlerreihen
c) Praktischer Wert der charakteristischen Fehler
128. Der mittlere Fehler des Resultats als Kriterium für das Erreichte
129. Die charakteristischen Fehler der Einzelmessungen als Kriterien für die Methode der Beobachtung
VIII. Zahlenbeispiel für die Anwendung der Theorie einfacher Messungen
130. Die gemessene Grösse
a) Die Messungen werden le liglich als Zahlenbeispiel für die entwickelten Ausgleichungsformeln benutzt
131. Bildung von Gruppenmitteln
132. Das wahrscheinlichste Resultat aller Messungen
133. Die charakteristischen Fehler der Einzelmessungen, wenn jede Gruppe für sich betrachtet wird
134. Die charakteristischen Fehler der Einzelmessungen und des Resultats be-rechnet aus alien Messungen
135. Bedeutung des Endergebnisses und seines mittlern Fehlers
136. Die charakteristischen Fehler berechnet aus den wahrscheinlichsten Fehlern der Gruppenmittel
137. Die Präcision; Berechnung und Erklärung
138. Das Wahrscheinlichkeitsgesetz
b) Die Messungen werden nach ihren Fehlerquellen discutirt, die Fehler auf ihre Zufälligkeit geprüft
139. Die Fehlerquellen
140. Notwendige Zusammenziehung mehrerer Einzelmessungen zu einer Einzel-messung, um wirklich gleichwertige Messungen zu gewinnen
141. Zerlegung der Messungsreihe in zwei Teile, Anordnung in jedem Teile
142. Discussion des ersten Teils der Messungen
143. Der zweite Teil der Messungen
144. Ergebnisse für die Methoden
- Dritter Abschnitt. Zusammengesetzte Messungen, Abschweifung über Determinanten und die Theorie linearer Gleichungen
IX. Unbedingte zusammengesetzte Messungen
a) Wahrscheinlichste Ergebnisse
145. Begriff zusammengesetzter Messungen
146. Notwendigkeit, die Elemente unabhängig von einander zu messen
147. Ableitung des wahrscheinlichsten Resultats für einen Satz von Elementen
148. Wahrscheinlichstes Resultat bei mehreren Sätzen von Elementen
149. Problem der Gewichtsbestimmung einer Function unabhängiger Elemente
b) Fehler und Präcision
150. Fehlerrechnung. Notwendigkeit genaue Messungen vorauszusetzen
151. Unterschiede der Fehler zusammengesetzter Messungen gegen die einfacher
152. Annahmen über die Fehler zusammengesetzter Messungen
153. Wahrscheinlichkeitsfunction zusammengesetzter Fehler
154. Die Präcisionsconstante eines zusammengesetzten Fehlers
155. Präcision, charakteristischer Fehler und Gewicht zusammengesetzter Messungen
156. Giltigkeitsbereich des voraufgehenden Satzes
157. Strengerer Beweis für den Fall des mittlern Fehlers
158. Specielle Anwendungen
159. Principieller Unterschied zwischen einer mehrfach genommenen Messung und einer mehrfach zusammengesetzten Messung. Fortsetzung der Beispiele
X. Bedingte zusammengesetzte Messungen
a) Ableitung der wahrscheinlichsten Resultate
160. Art der Abhängigkeit der Elemente von einander
161. Methode der Elimination überschüssiger Elemente
162. Welche Beträge bedingter Elemente als die wahrscheinlichsten zu erachten sind
163. Einführung der Verbessemngen
164. Die Verbesserungen werden der Bedingung unterworfen, dass sie die grösste Wahrscheinlichkeit für sich haben
165. Maximum oder Minimum unter Nebenbedingungen
166. Aufstelhmg der Gleichungen fur die Verbesserungen und Correlaten
167. Verbesserung der zusammengesetzten Grösse
b) Fehlerrechnung
168. Die beobachteten und ausgeglichenen mittlern Fehler der Elemente
169. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Vorbereitende Schritte
170. Die Theorie der linearen Gleichungen. In welchem Sinne die Determinanten Verwendung finden sollen
XI. Abschweifung über Determinanten und lineare Gleichungen
a) Determinanten
171. Definition der Determinanten
172. Unveränderlichkeit des Betrages einer Determinante bei gewissen Operationen
173. Wann eine Determinante identisch Null ist
174. Zerlegung von Determinanten
175. Weitere Unveränderlichkeitseigenschaften
176. Unterdeterminanten; Entwickelung nach denselben
177. Differentialquotienten einer Determinante, Entwickelung nach ihnen
178. Beispiele von Entwickelungen von Determinanten, Regeln zur Erleichterung der Entwickelung
179. Multiplicationstheorern für Determinanten
b) Theorie der linearen Gleichungen
180. Bedingung für die Existenz eines Systems homogener Gleichungen
181. Bedingung für die Existenz nicht homogener Gleichungen
182. Auflösung linearer Gleichungen
183. Allgemeine Reduction einer Determinante
184. Schema für die Ausrechnung (Reduction) linearer Gleichungen
185. Die Werte der Unbekannten, zwei Formen
186. Verringerung der Operationen für symmetrische Gleichungen
XII. Bedingte zusammengesetzte Messungen
- Fortsetzung der Fehlerrechnung
- 187a. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Bildung der diese ersetzenden function
- 187b. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Einführung der Uebertragungsgrössen
188. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Darstellung der Differential-quotienten und definitive Formel
189. Beispiel
XIII. Zusammengesetzte Messungen mit zum Teil zusammengesetzten Elementen
c) Ersetzung von Elementen durch andere Elemente
190. Art der Abhängigkeit und Berechnung des wahrscheinlichsten Resultats
191. Fehlerrechnung für eine Grösse, deren Elemente aus andern beobachteten Elementen zusammengesetzt sind
192. Beispiel
XIV. Kritik zusammengesetzter Messungen
193. Beurteilung der Schlussergebnisse, Einführung des zu erwartenden mittlern Fehlers
194. Kriterien für das Maass von Sorgfalt, welches den einzelnen Elementen zu widmen ist
195. Kriterium für die Wahl des geeignetsten Elementensystems
196. Beispiel zur Entscheidung für ein bestimmtes Elementensystem
197. Kriterien für die Wahl der Beträge der Elemente
198. Beispiel zur Entscheidung über die Beträge der Elemente
XV. Zusammenstellung der Ergebnisse
199. Unbedingte zusammengesetzte Messungen
200. Bedingte zusammengesetzte Messungen
201. Zusammengesetzte Messungen, bei denen ein Teil der Elemente selbst zusammengesetzte Grössen sind
202. Kritik der Messungen und Resultate, Information über die zu wäblende Messungsmethode und das zu wählende Elementensystem
- Vierter Abschnitt. Ausgleichung von Untersuchungen
XVI. Ableitung der Normalgleichungen
203. Aufgabe des Physikers bei Untersuchungen
204. Festsetzung über die analytische Darstellung der auszugleichenden Be-ziehungen
205. Stellung der Aufgabe
206. Die allgemeinen Ausgleichungsformeln
207. Verhältnis der Ausgleichungsformeln zu den Beobachtungsgleichungen
208. Die Ausgleichungsformeln nach dem Gaussischen Fehlergesetz
209. Die Ausgleichungsformeln als Consequenz des Princips vom kleinsten mittlern Fehler
210. Allgemeine Fehlergleichungen
- 211a. Allgemeine Normalgleichungen
- 211b. Notwendigkeit eines Näherungsverfahrens bei der Behandlung der allgemeinen Normalgleichungen
212. Normalgleichungen für lineare Functionen
213. Ausgleichung homogener linearer Functionen
214. Zurückführung des allgemeinen Falls auf Ausgleichung linearer Functionen in successiver Näherung
215. Andere Methoden Ausgleichungen verwickelter Functionen auf die linearer zurückzuführen
216. Die praktischen Fehler- und Normalgleichungen
XVII. Fehlerrechnung
a) Beobachtete mittlere Fehler und Gewichte der Beobachtungsgleichungen
217. Die beobachteten mittlern Fehler und Gewichte der Beobachtungsgleichungen
b) Ausgeglichene mittlere Fehler und Gewichte der Beobachtungsgleichungen
218 a. Der wahre mittlere Fehler
218 b. Der wahrscheinlicbste mittlere Fehler
218 c. Genäherter Wert für den wahren mittlern Fehler
219. Die mittlere Unsicherheit der charakteristischen Fehler
220. Uebergang zu den tatsächlichen Verhältnissen. Formeln
221. Ableitung einer besondern Formel für die Fehlerquadratsumme
222. Wert der Formel [pv2] = lh+1, h zur summarischen Controle der numerischen Rechnungen
c) Fehlerrechnung für die ausgeglichenen Grössen
223. Die Fehler der Coefficienten als kritisches Hilfsmittel
224. Vereinfachung des Problems. Notwendigkeit der Rechnung durch Nähe-rungen
225. Entwickelte Formeln für die mittlern Fehler der Coefficienten
226. Erste Entwickelung der mittlern Fehler der Coefficienten
227. Zweite Entwickelung, Darstellung durch die coordinirten Coefficienten
228. Dritte Entwickelung, explicite Formeln
229. Vierte Methode, Berechnung aus den AequivalentGrössen. Die mittlern Fehler und Gewichte der AequivalentGrössen
230. Fünfte Methode, Ableitung aus der Präcision. Die Normalgleichungen geben die wahrscheinlichsten Coefficienten
d) Die charakteristischen Fehler von Functionen ausgeglichener Grössen
231. Frage nach den mittlern Fehlern von Functionen der Coefficienten
232. Darstellung durch die coordinirten Coefficienten
- #. Entwickelung allgemeiner Formeln
234. Berechnung aus den AequivalentGrössen
235. Benutzung der vorstehenden Formeln bei Transformationen
e) Die Fehler des Endresultats
236. Endresultat einer Ausgleichung
XVIII. Untersuchungen mit Nebenbedingungen
237. Untersuchungen mit Nebenbedingungen. Stellmg des Problems
238. Directe Lösung durch Elimination der überschüssigen Coefficienten
239. Ausgleichung nach Bessel. a) Grundlagen
239 b. Die Normalgleichungen
239 c. Fehler der Beobachtungsgleichungen, Controlformel
239 d. Die Fehler der Coefficienten und von Functionen der Coefficienten
240. Methode von Hansen und Andrä, Ausgleichung durch die AequivalentGrössen
XIX. Ausgleichung von einander abhängiger Beobachtungen
241. Unabhängige Beobachtungen und abhängige Beobachtungen
242. Fälle abhängiger Beobachtungen. Differenz- oder Nullpunktsbeobachtungen. Beispiele
243. Zwei Annahmen, um die Yerbindung zwischen Beobachtungsgleichungen zu lösen
- 244a. Normalgleichungen für verbundene Beobachtungsgleichungen. Erste Lösung
- 244b. Zweite Auflösung
245. Streng zu erfüllende verbundene Gleichungen
246 a
b. Beispiel für die Ausgleichung verbundener Beobachtungsgleichungen
XX. Ueber die Form, die man den Beobachtungsgleichungen zu geben hat
247. Mit den Beobachtungsgleichungen dürfen vor ihrer Ausgleichung keinerlei Operationen vorgenommen werden, die ihre Gewichte beeinflussen
248. Wenn die Gleichungen abgeändert werden, müssen auch ihre Gewichte geändert werden, indessen wird das Resultat unsicherer
249. Beispiel 1
250. Beispiel 2
251. Form der auszugleichenden Beobachtungsgleichungen bei praktischen Rechnungen; Beispiel
252. Ausgleichen von Beobachtungsgleiehungen, die nach der darzustellenden Grösse entwickelt sind
253. Aufstellung der Beobachtungsgleichungen nach theoretischen Gesichts-punkten
XXI. Ueber die Bestimmung der Gewichte der Beobachtungsgleichungen
254. Berechnung der Gewichte aus den mittlern Fehlern der beobachteten Elemente
255. Befreiung von systematischen Verfälschungen, Ausgleichung der beobachteten mittlern Fehler der Gleichungen in sich zur Ableitung genauerer Gewichte
256. Beispiel 1
257. Beispiel 2
258. Mittlere Unsicherheit der berechneten Gewichte
259. Wann die Gewichte noch aus den mittlern Fehlern der Elemente berechnet werden dürfen
260. Zuziehung anderweitig ausgeführter Untersuchungen zur Ableitung der mittlern Fehler
261. Ableitung der Gewichte aus den Messungsanzahlen
262. Beobachtungsgleichungen zu Mittelgleichungen zu vereinigen, ist im All-gemeinen nicht zu empfehlen
XXII. Verallgemeinerung und Zusammenfassung der Ergebnisse; Rechenschemata
a) Verallgemeinerung der Bedeutung der Entwickelungen
263. Die Entwickelungen gelten für irgend welche Formen der Beobachtungsgleiehungen
264. Die Entwickelungen sind unabhängig davon, ob die Form der Beobachtungsgleiehungen bestimmt oder hypothetisch ist
b) Beobachtungsgleiehungen und Fehlergleichungen
265
c) Die Gewichte
266
d) Die Näherungsrechnungen
267
e) Rechenschema für unabhängige und unbedingte Untersuchungen
268. Bildung der Normalgleichungen
269. Reduction der Normalgleichungen
270. Regeln für die Ausführung der Ausgleichung
271. Rechenschema für die Ausgleichung
272. Controlformel
- f1) Berücksichtigung von Bedingungsgleichungen zwischen den gesuchten Grössen
273. Die Normalgleichungen
274. Die Reduction
- f2) Beobachtete Grossen haben Bedingungsgleichungen, in welchen noch un-bekannte Grössen enthalten sind, streng zu erfüllen (Erweiterung zu Art. 200)
275
g) Ausgleichung abhängiger Beobachtungen
276
XXIII. Kritik von Untersuchungen
277. Kritische Arbeiten vor der Ausgleichung
278. Systematische Fehler in den einzelnen Beobachtungsgleichungen
279 a. Systematische Verfälschungen der Beobachtungsgleichungen gegen einander. Notwendigkeit von Nebenuntersuchungen
- 279b. Beispiel
279 c. Aufhebung der systematischen Verfälschung durch Deutung der durch die Beobachtungsgleichungen erlangten Resultate
279 d. Fortführung des Beispiels
280. Die Trennung der einzelnen Verfälschungen von einander
281. Anordnung der Fehlerreihe nach den vermutlichen Ursachen der systematischen Verfälschungen
282. Einführung von Correctionsgliedern zur Berücksichtigung der systematischen Fehler bei den Messungen einzelner Elemente
283. Correctionsglieder für systematische Verfälschung der Beträge der Elemente
284. Beispiel
285. Correctionsglieder wegen allgemeiner systematischer Verfälschung der Beobachtungsgleichungen
286. Fälle, in denen systematische Verfälschungen sich nicht durch Correctionsglieder aufheben lassen
287. Systematische Verfälschung durch die analytische Form der Beobachtungsgleichungen
288. Kritik der Resultate einer Untersuchung
- Fünfter Abschnitt. Interpolation, Differentiation und Quadratur
XXIV. Interpolation
289. Aufgabe
290. Graphische Interpolation
291. Analytische Interpolation
291 a. Darstellung durch algebraische Functionen. Lagrange'sche Interpolationsformel
- 291b. Darstellung durch periodisehe Reihen
- 291c. Die Gaussischen Interpolationsformeln
- 291d. Ausgleichung durch periodische Reihen
291 e. Beispiel. Schema für die Berechnung des täglichen Ganges einer Erscheinung aus den 24 Stundenbeobachtungen
292. Numerische Interpolation
292 a. Interpolationsformel mit Diagonaldifferenzen
292 b. Interpolationsformeln mit Zeilen-Differenzen
292 c. Extrapolation
292 d. Interpolation für mehrere Argumente
XXV. Differentiation und Integration
a) Differentiation
293. Graphische Differentiation
294. Analytische Differentiation
295. Numerische Differentiation
b) Integration
296. Graphisches Integriren. (Mechanische Quadratur.)
297. Analytische Integration
297 a. Integration durch die Lagrangesche Interpolationsformel
297 b. Die Newton-Cotesschen Integralformeln
297 c. Die Gaussischen Integralformeln
297 d. Mehrfache Integration durch die Lagrangesche Interpolationsformel
297 e. Integration nach mehreren Variabeln
297 f. Integration durch periodische Reihen
298. Numerische Integration, allgemeine Formel
298 a. Besondere Formeln für einfache Integration
298 b. Integration von Argument zu Argument
298 c. Integration von Intervallmitte zu Intervallmitte
298 d. Zweifache Integration
d) Die Wahrscheinlichkeitsfunction für Fehler, die ihrer Grösse oder ihrer wahrscheinlichen Ursache nach bekannt sind
33. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunction, wenn die in der Unter-suchung wahrscheinlich vorgefallenen Fehler bekannt sind
34. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunction, wenn die wahrscheinliche Ursache der Fehler bekannt ist
35. Beispiel
36. Uncontrolirbare Fehler als zufällige aufgefasst
- Zweiter Abschnitt. Theorie der zufälligen Fehler; Ausgleichung ein-facher Messungen
IV. Theorie der zufalligen Fehler; Princip des arithmetischen Mittels
a) Messungen gleicher Schärfe
37. Zufällige Fehler können Resultate ebenso gut im Sinne des zu Viel als des zu Wenig verfälschen
38. Das Bernouilli'sche "Gesetz der grossen Zahlen"
39. Die Häufigkeiten der einzelnen zufälligen Fehler stehen im Verhältnis zu den bezüglichen Wahrscheinlichkeiten
40. Jeder zufällige Fehler darf ebenso oft als positive wie als negative Grösse erwartet werden
41. Algebraische Summe aller Fehler von bestimmter Grösse
42. Algebraische Summe aller möglichen Fehler
43. Uebergang zum Princip des arithmetischen Mittels
44. Verhältnis der algebraischen Summe aller Fehler zu der absoluten Summe derselben
45. Durchschnittlicher Fehler und Resultirender Fehler
40. Erfahrungsmässig fallen grosse Fehler sehr viel seltener vor als kleine
47. Der durchschnittliche Fehler nähert sich mit wachsender Anzahl der Messungen einem bestimmten endlichen Grenzwert, der resultirende con-vergirt gegen Null
48. Princip des arithmetischen Mittels
b) Messungen ungleicher Schärfe
49. Was einer Messmethode an Schärfe fehlt, kann durch Häufung der Einzel-messungen ersetzt werden
50. Ersetzung einer guten Einzelmessung durch mehrere weniger gute Einzel-messungen
51. Gewicht einer Messung; Bestimmung äquivalent dem Resultat wiederholter Messungen
52. Ausdehnung des Princips vom arithmetischen Mittel auf Bestimmungen ungleicher Schärfe
53. Analogieen mit anderen Berechnungen
54. Die übrig bleibenden und der resultirende Fehler
c) Die Wahrscheinlichkeitsfunction für Messungen gleicher Schärfe
55. Unterschied zwischen der Ausgleichungsfolrmel und dem Princip des arithmetischen Mittels
56. Wahrscheinlichkeitsgesetz für wahre Fehler
57. Beziehung zwischen den Constanten A und h
58. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in ihrer Abhängigkeit von der Präcision der Messung
59. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in ihrer Abhängigkeit von der Grösse desselben. Die Wahrscheinlichkeitscurve
d) Die charakteristischen Fehler
60. Einführung des mittleren Fehlers als desjenigen Fehlers, der bei der gerade benutzten Messmethode seine grösstmögliche Wahrscheinlichkeit besitzt
61. Der mittlere Fehler als Maass der Präcision einer Methode
62. Die Curve der mittleren Fehler, die Präcisionscurve, ist eine Hyperbel
63. Der resultirende und der durchschnittliche Fehler
64. Die Wahrscheinlichkeiten der charakteristischen Fehler
65. Der mittlere Fehler als Quadratwurzel des mittlern Fehlerquadrats
- 66
67. Einführung des wahrscheinlichen Fehlers
68. Der wahrscheinliche Fehler als die mittlere Nullte Potenz der Fehler
69. Satz für die zahlenmässige Berechnung der Präcisionsconstante und der Anzahl der Fehler vom Betrage Null
e) Andere Formen für das Wahrscheinlichkeitsgesetz; Theorie von Laplace
70. Zwei neue Formen für das Wahrscheinlichkeitsgesetz
71. Die Laplace'sche Ableitung des Wahrscheinlichkeitsgesetzes
72. Notwendige Aenderung
73. Specialisirung der der Laplace'schen Theorie zu Grunde liegenden Hypo-thesen; Erweiterung durch Bessel
74. Die charakteristischen Fehler nach der Laplace'schen Theorie. Zusammen-hang mit dem grösstmöglichen Fehler
f) Verteilung der Fehler ihrer Grösse nach
75. Das Verteilungsgesetz
76. Specielles Beispiel
77. Analogie aus der kinetischen Gastheorie
g) Bestimmungen ungleicher Schärfe
78. Zwei Kategorieen
79. Wahrscheinlichkeitsfunction
80. Zusammenhang zwischen dem wahren mittlern Fehler einer Bestimmung und dem Gewicht derselben
81. Anwachsen der Genauigkeit einer Bestimmung mit dem Gewicht
82. Verteilung der Fehler in verschieden scharfen Bestimmungsreihen
83. Verhältnisse zwischen entsprechcnden Fehlern zweier ungleich scharfer Methoden
84. Wie sich die zu erwartenden Fehler ändern, wenn das Gewicht einer Bestimmungsreihe geändert wird
85. Die wahrscheinlichsten Werte für die charakteristischen Fehler einer aus Bestimmungen ungleichen Gewichts zusammengesetzten Bestimmungsreihe
86. Messungen zu Gruppen zusammen zu fassen ist nur unter besondern Ver-hältnissen zu empfehlen
h) Wahrscheinlichkeit für Fehlersysteme, Ursprung der Methode der kleinsten Quadrate
87. Wahrscheinlichkeit eines Systems von Fehlern
88. Die Ausgleichungsrechnung als Methode der kleinsten Quadrate
89. Das wahrscheinlichste System von Fehlern ist dasjenige, dessen mittlerer Fehler ein Minimum ist
90. Der mittlere Fehler als Fehler, der bei einer Messungsreihe im Ganzen zu erwarten steht. Andere Bedeutung des Axioms vom Minimum des mittleren Fehlers
V. Uebergang von den wahren Verhältnissen zu den wahrscheinlichsten. Praktische Ausgleichungsrechnung
91. Die Praxis kann sich nicht mit wahren, sondern nur mit wahrscheinlichsten Fehlern beschäftigen
92. Zwei Gründe, aus denen die charakteristischen Fehler in der Wirklichkeit nicht genau berechnet werden konnen
93. Die wahrscheinlichsten Fehler weichen alle um eine und dieselbe Grösse, den resultirenden Fehler, von den wahren Fehlern ab
94. Berechnung der charakteristischen Fehler aus den wahrscheinlichsten Fehlern
95. Die Rechnungen liefern angenäherte wahre, nicht blos wahrscheinlichste Werte für die charakteristischen Fehler
96. Berechnung der Präcision
97. Einfluss der Beschränktheit der Messungswiederholungen auf die Be-rechnung der Präcision und der charakteristischen Fehler. Die wahr-scheinliche Unsicherheit dieser Berechnung. Relativ am geringsten ist dieselbe bei der des mittlern Fehlers
98. Zusammenfassung
99. Unterschied zwischen Theorie und Praxis hinsichtlich der Beurteilung des Resultats einer Messungsreihe
100. Die charakteristischen Fehler und die Präcision des Resultats
- 100a. Der mittlere Fehler des Resultats ist zugleich der wahrscheinlichste Fehler desselben
VI. Uebersicht über die erlangten Ergebnisse
101. Gegenstand, Resultate
a) Theoretische Ergebnisse
102. Messungen gleicher Schärfe
103. Messungen ungleicher Schärfe
b) Ergebnisse für die praktische Anwendung
104. Das wahrscheinlichste Resultat und die wahrscheinlichsten Fehler
105. Die charakteristischen Fehler und die Präcision der einzelnen Messungen
106. Charakteristische Fehler und Präcision des Resultats
107. Die Zeichen der charakteristischen Fehler und die Bedeutung der Hinzu-fügung dieser zu den Messungen und Resultaten
VII. Kritik Von Beobachtungen und ihrer Ausgleichung
108. Zu discutirende Fragen
a) Bemerkungen über systematische Fehler
109. Systematische Fehler aus der Unkenntnis der Einflüsse, denen die zu messende Grösse unterliegt
110. Systematische Fehler in Einrichtung und Ausführung der Messung
111. Bedingungen zur Vermeidung und Auffindung systematischer Fehler
b) Formale Kriterien für die Zufälligkeit übrig gebliebener Fehlerreihen
112. Die übrig bleibenden systematischen Yerfälschungen
113. Anordnung der Fehlerreihe
114. Die beiden Haupteigenschaften der zufalligen Fehler
115. Kritik der Grösse der einzelnen Fehler; auszuschliessende Beobachtungen
116. Kriterien aus den Zeichen, Zeichenwechsel und Zeichenfolgen
117. Seeliger's Formulirung der Zeichen-Kriterien
118. Das Abbe'sche Kriterium
119 a. Kriterien für die Giltigkeit des Wahrscheinlichkeitsgesetzes
119 b. Kriterien aus dem Verteilungsgesetz der Fehler
120. Kriterien aus den Beziehungen zwischen den charakteristischen Fehlern
121. Zeichenkriterien aus den Differenzenreihen der Fehler
122. Kriterien aus dem Verschwinden von Differenzenreihen
123. Neue Fassung des Abbe'schen Kriteriums als Satz von der mittlern ersten Fehlerdifferenz
124. Beispiel
125. Kriterium aus der Zu- und Abnahme der Fehlerbeträge
126. Der Wert der Kriterien und die Notwendigkeit eingehender Protokolle
127. Zusammenstellung der Kriterien für zufällige Fehlerreihen
c) Praktischer Wert der charakteristischen Fehler
128. Der mittlere Fehler des Resultats als Kriterium für das Erreichte
129. Die charakteristischen Fehler der Einzelmessungen als Kriterien für die Methode der Beobachtung
VIII. Zahlenbeispiel für die Anwendung der Theorie einfacher Messungen
130. Die gemessene Grösse
a) Die Messungen werden le liglich als Zahlenbeispiel für die entwickelten Ausgleichungsformeln benutzt
131. Bildung von Gruppenmitteln
132. Das wahrscheinlichste Resultat aller Messungen
133. Die charakteristischen Fehler der Einzelmessungen, wenn jede Gruppe für sich betrachtet wird
134. Die charakteristischen Fehler der Einzelmessungen und des Resultats be-rechnet aus alien Messungen
135. Bedeutung des Endergebnisses und seines mittlern Fehlers
136. Die charakteristischen Fehler berechnet aus den wahrscheinlichsten Fehlern der Gruppenmittel
137. Die Präcision; Berechnung und Erklärung
138. Das Wahrscheinlichkeitsgesetz
b) Die Messungen werden nach ihren Fehlerquellen discutirt, die Fehler auf ihre Zufälligkeit geprüft
139. Die Fehlerquellen
140. Notwendige Zusammenziehung mehrerer Einzelmessungen zu einer Einzel-messung, um wirklich gleichwertige Messungen zu gewinnen
141. Zerlegung der Messungsreihe in zwei Teile, Anordnung in jedem Teile
142. Discussion des ersten Teils der Messungen
143. Der zweite Teil der Messungen
144. Ergebnisse für die Methoden
- Dritter Abschnitt. Zusammengesetzte Messungen, Abschweifung über Determinanten und die Theorie linearer Gleichungen
IX. Unbedingte zusammengesetzte Messungen
a) Wahrscheinlichste Ergebnisse
145. Begriff zusammengesetzter Messungen
146. Notwendigkeit, die Elemente unabhängig von einander zu messen
147. Ableitung des wahrscheinlichsten Resultats für einen Satz von Elementen
148. Wahrscheinlichstes Resultat bei mehreren Sätzen von Elementen
149. Problem der Gewichtsbestimmung einer Function unabhängiger Elemente
b) Fehler und Präcision
150. Fehlerrechnung. Notwendigkeit genaue Messungen vorauszusetzen
151. Unterschiede der Fehler zusammengesetzter Messungen gegen die einfacher
152. Annahmen über die Fehler zusammengesetzter Messungen
153. Wahrscheinlichkeitsfunction zusammengesetzter Fehler
154. Die Präcisionsconstante eines zusammengesetzten Fehlers
155. Präcision, charakteristischer Fehler und Gewicht zusammengesetzter Messungen
156. Giltigkeitsbereich des voraufgehenden Satzes
157. Strengerer Beweis für den Fall des mittlern Fehlers
158. Specielle Anwendungen
159. Principieller Unterschied zwischen einer mehrfach genommenen Messung und einer mehrfach zusammengesetzten Messung. Fortsetzung der Beispiele
X. Bedingte zusammengesetzte Messungen
a) Ableitung der wahrscheinlichsten Resultate
160. Art der Abhängigkeit der Elemente von einander
161. Methode der Elimination überschüssiger Elemente
162. Welche Beträge bedingter Elemente als die wahrscheinlichsten zu erachten sind
163. Einführung der Verbessemngen
164. Die Verbesserungen werden der Bedingung unterworfen, dass sie die grösste Wahrscheinlichkeit für sich haben
165. Maximum oder Minimum unter Nebenbedingungen
166. Aufstelhmg der Gleichungen fur die Verbesserungen und Correlaten
167. Verbesserung der zusammengesetzten Grösse
b) Fehlerrechnung
168. Die beobachteten und ausgeglichenen mittlern Fehler der Elemente
169. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Vorbereitende Schritte
170. Die Theorie der linearen Gleichungen. In welchem Sinne die Determinanten Verwendung finden sollen
XI. Abschweifung über Determinanten und lineare Gleichungen
a) Determinanten
171. Definition der Determinanten
172. Unveränderlichkeit des Betrages einer Determinante bei gewissen Operationen
173. Wann eine Determinante identisch Null ist
174. Zerlegung von Determinanten
175. Weitere Unveränderlichkeitseigenschaften
176. Unterdeterminanten; Entwickelung nach denselben
177. Differentialquotienten einer Determinante, Entwickelung nach ihnen
178. Beispiele von Entwickelungen von Determinanten, Regeln zur Erleichterung der Entwickelung
179. Multiplicationstheorern für Determinanten
b) Theorie der linearen Gleichungen
180. Bedingung für die Existenz eines Systems homogener Gleichungen
181. Bedingung für die Existenz nicht homogener Gleichungen
182. Auflösung linearer Gleichungen
183. Allgemeine Reduction einer Determinante
184. Schema für die Ausrechnung (Reduction) linearer Gleichungen
185. Die Werte der Unbekannten, zwei Formen
186. Verringerung der Operationen für symmetrische Gleichungen
XII. Bedingte zusammengesetzte Messungen
- Fortsetzung der Fehlerrechnung
- 187a. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Bildung der diese ersetzenden function
- 187b. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Einführung der Uebertragungsgrössen
188. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Darstellung der Differential-quotienten und definitive Formel
189. Beispiel
XIII. Zusammengesetzte Messungen mit zum Teil zusammengesetzten Elementen
c) Ersetzung von Elementen durch andere Elemente
190. Art der Abhängigkeit und Berechnung des wahrscheinlichsten Resultats
191. Fehlerrechnung für eine Grösse, deren Elemente aus andern beobachteten Elementen zusammengesetzt sind
192. Beispiel
XIV. Kritik zusammengesetzter Messungen
193. Beurteilung der Schlussergebnisse, Einführung des zu erwartenden mittlern Fehlers
194. Kriterien für das Maass von Sorgfalt, welches den einzelnen Elementen zu widmen ist
195. Kriterium für die Wahl des geeignetsten Elementensystems
196. Beispiel zur Entscheidung für ein bestimmtes Elementensystem
197. Kriterien für die Wahl der Beträge der Elemente
198. Beispiel zur Entscheidung über die Beträge der Elemente
XV. Zusammenstellung der Ergebnisse
199. Unbedingte zusammengesetzte Messungen
200. Bedingte zusammengesetzte Messungen
201. Zusammengesetzte Messungen, bei denen ein Teil der Elemente selbst zusammengesetzte Grössen sind
202. Kritik der Messungen und Resultate, Information über die zu wäblende Messungsmethode und das zu wählende Elementensystem
- Vierter Abschnitt. Ausgleichung von Untersuchungen
XVI. Ableitung der Normalgleichungen
203. Aufgabe des Physikers bei Untersuchungen
204. Festsetzung über die analytische Darstellung der auszugleichenden Be-ziehungen
205. Stellung der Aufgabe
206. Die allgemeinen Ausgleichungsformeln
207. Verhältnis der Ausgleichungsformeln zu den Beobachtungsgleichungen
208. Die Ausgleichungsformeln nach dem Gaussischen Fehlergesetz
209. Die Ausgleichungsformeln als Consequenz des Princips vom kleinsten mittlern Fehler
210. Allgemeine Fehlergleichungen
- 211a. Allgemeine Normalgleichungen
- 211b. Notwendigkeit eines Näherungsverfahrens bei der Behandlung der allgemeinen Normalgleichungen
212. Normalgleichungen für lineare Functionen
213. Ausgleichung homogener linearer Functionen
214. Zurückführung des allgemeinen Falls auf Ausgleichung linearer Functionen in successiver Näherung
215. Andere Methoden Ausgleichungen verwickelter Functionen auf die linearer zurückzuführen
216. Die praktischen Fehler- und Normalgleichungen
XVII. Fehlerrechnung
a) Beobachtete mittlere Fehler und Gewichte der Beobachtungsgleichungen
217. Die beobachteten mittlern Fehler und Gewichte der Beobachtungsgleichungen
b) Ausgeglichene mittlere Fehler und Gewichte der Beobachtungsgleichungen
218 a. Der wahre mittlere Fehler
218 b. Der wahrscheinlicbste mittlere Fehler
218 c. Genäherter Wert für den wahren mittlern Fehler
219. Die mittlere Unsicherheit der charakteristischen Fehler
220. Uebergang zu den tatsächlichen Verhältnissen. Formeln
221. Ableitung einer besondern Formel für die Fehlerquadratsumme
222. Wert der Formel [pv2] = lh+1, h zur summarischen Controle der numerischen Rechnungen
c) Fehlerrechnung für die ausgeglichenen Grössen
223. Die Fehler der Coefficienten als kritisches Hilfsmittel
224. Vereinfachung des Problems. Notwendigkeit der Rechnung durch Nähe-rungen
225. Entwickelte Formeln für die mittlern Fehler der Coefficienten
226. Erste Entwickelung der mittlern Fehler der Coefficienten
227. Zweite Entwickelung, Darstellung durch die coordinirten Coefficienten
228. Dritte Entwickelung, explicite Formeln
229. Vierte Methode, Berechnung aus den AequivalentGrössen. Die mittlern Fehler und Gewichte der AequivalentGrössen
230. Fünfte Methode, Ableitung aus der Präcision. Die Normalgleichungen geben die wahrscheinlichsten Coefficienten
d) Die charakteristischen Fehler von Functionen ausgeglichener Grössen
231. Frage nach den mittlern Fehlern von Functionen der Coefficienten
232. Darstellung durch die coordinirten Coefficienten
- #. Entwickelung allgemeiner Formeln
234. Berechnung aus den AequivalentGrössen
235. Benutzung der vorstehenden Formeln bei Transformationen
e) Die Fehler des Endresultats
236. Endresultat einer Ausgleichung
XVIII. Untersuchungen mit Nebenbedingungen
237. Untersuchungen mit Nebenbedingungen. Stellmg des Problems
238. Directe Lösung durch Elimination der überschüssigen Coefficienten
239. Ausgleichung nach Bessel. a) Grundlagen
239 b. Die Normalgleichungen
239 c. Fehler der Beobachtungsgleichungen, Controlformel
239 d. Die Fehler der Coefficienten und von Functionen der Coefficienten
240. Methode von Hansen und Andrä, Ausgleichung durch die AequivalentGrössen
XIX. Ausgleichung von einander abhängiger Beobachtungen
241. Unabhängige Beobachtungen und abhängige Beobachtungen
242. Fälle abhängiger Beobachtungen. Differenz- oder Nullpunktsbeobachtungen. Beispiele
243. Zwei Annahmen, um die Yerbindung zwischen Beobachtungsgleichungen zu lösen
- 244a. Normalgleichungen für verbundene Beobachtungsgleichungen. Erste Lösung
- 244b. Zweite Auflösung
245. Streng zu erfüllende verbundene Gleichungen
246 a
b. Beispiel für die Ausgleichung verbundener Beobachtungsgleichungen
XX. Ueber die Form, die man den Beobachtungsgleichungen zu geben hat
247. Mit den Beobachtungsgleichungen dürfen vor ihrer Ausgleichung keinerlei Operationen vorgenommen werden, die ihre Gewichte beeinflussen
248. Wenn die Gleichungen abgeändert werden, müssen auch ihre Gewichte geändert werden, indessen wird das Resultat unsicherer
249. Beispiel 1
250. Beispiel 2
251. Form der auszugleichenden Beobachtungsgleichungen bei praktischen Rechnungen; Beispiel
252. Ausgleichen von Beobachtungsgleiehungen, die nach der darzustellenden Grösse entwickelt sind
253. Aufstellung der Beobachtungsgleichungen nach theoretischen Gesichts-punkten
XXI. Ueber die Bestimmung der Gewichte der Beobachtungsgleichungen
254. Berechnung der Gewichte aus den mittlern Fehlern der beobachteten Elemente
255. Befreiung von systematischen Verfälschungen, Ausgleichung der beobachteten mittlern Fehler der Gleichungen in sich zur Ableitung genauerer Gewichte
256. Beispiel 1
257. Beispiel 2
258. Mittlere Unsicherheit der berechneten Gewichte
259. Wann die Gewichte noch aus den mittlern Fehlern der Elemente berechnet werden dürfen
260. Zuziehung anderweitig ausgeführter Untersuchungen zur Ableitung der mittlern Fehler
261. Ableitung der Gewichte aus den Messungsanzahlen
262. Beobachtungsgleichungen zu Mittelgleichungen zu vereinigen, ist im All-gemeinen nicht zu empfehlen
XXII. Verallgemeinerung und Zusammenfassung der Ergebnisse; Rechenschemata
a) Verallgemeinerung der Bedeutung der Entwickelungen
263. Die Entwickelungen gelten für irgend welche Formen der Beobachtungsgleiehungen
264. Die Entwickelungen sind unabhängig davon, ob die Form der Beobachtungsgleiehungen bestimmt oder hypothetisch ist
b) Beobachtungsgleiehungen und Fehlergleichungen
265
c) Die Gewichte
266
d) Die Näherungsrechnungen
267
e) Rechenschema für unabhängige und unbedingte Untersuchungen
268. Bildung der Normalgleichungen
269. Reduction der Normalgleichungen
270. Regeln für die Ausführung der Ausgleichung
271. Rechenschema für die Ausgleichung
272. Controlformel
- f1) Berücksichtigung von Bedingungsgleichungen zwischen den gesuchten Grössen
273. Die Normalgleichungen
274. Die Reduction
- f2) Beobachtete Grossen haben Bedingungsgleichungen, in welchen noch un-bekannte Grössen enthalten sind, streng zu erfüllen (Erweiterung zu Art. 200)
275
g) Ausgleichung abhängiger Beobachtungen
276
XXIII. Kritik von Untersuchungen
277. Kritische Arbeiten vor der Ausgleichung
278. Systematische Fehler in den einzelnen Beobachtungsgleichungen
279 a. Systematische Verfälschungen der Beobachtungsgleichungen gegen einander. Notwendigkeit von Nebenuntersuchungen
- 279b. Beispiel
279 c. Aufhebung der systematischen Verfälschung durch Deutung der durch die Beobachtungsgleichungen erlangten Resultate
279 d. Fortführung des Beispiels
280. Die Trennung der einzelnen Verfälschungen von einander
281. Anordnung der Fehlerreihe nach den vermutlichen Ursachen der systematischen Verfälschungen
282. Einführung von Correctionsgliedern zur Berücksichtigung der systematischen Fehler bei den Messungen einzelner Elemente
283. Correctionsglieder für systematische Verfälschung der Beträge der Elemente
284. Beispiel
285. Correctionsglieder wegen allgemeiner systematischer Verfälschung der Beobachtungsgleichungen
286. Fälle, in denen systematische Verfälschungen sich nicht durch Correctionsglieder aufheben lassen
287. Systematische Verfälschung durch die analytische Form der Beobachtungsgleichungen
288. Kritik der Resultate einer Untersuchung
- Fünfter Abschnitt. Interpolation, Differentiation und Quadratur
XXIV. Interpolation
289. Aufgabe
290. Graphische Interpolation
291. Analytische Interpolation
291 a. Darstellung durch algebraische Functionen. Lagrange'sche Interpolationsformel
- 291b. Darstellung durch periodisehe Reihen
- 291c. Die Gaussischen Interpolationsformeln
- 291d. Ausgleichung durch periodische Reihen
291 e. Beispiel. Schema für die Berechnung des täglichen Ganges einer Erscheinung aus den 24 Stundenbeobachtungen
292. Numerische Interpolation
292 a. Interpolationsformel mit Diagonaldifferenzen
292 b. Interpolationsformeln mit Zeilen-Differenzen
292 c. Extrapolation
292 d. Interpolation für mehrere Argumente
XXV. Differentiation und Integration
a) Differentiation
293. Graphische Differentiation
294. Analytische Differentiation
295. Numerische Differentiation
b) Integration
296. Graphisches Integriren. (Mechanische Quadratur.)
297. Analytische Integration
297 a. Integration durch die Lagrangesche Interpolationsformel
297 b. Die Newton-Cotesschen Integralformeln
297 c. Die Gaussischen Integralformeln
297 d. Mehrfache Integration durch die Lagrangesche Interpolationsformel
297 e. Integration nach mehreren Variabeln
297 f. Integration durch periodische Reihen
298. Numerische Integration, allgemeine Formel
298 a. Besondere Formeln für einfache Integration
298 b. Integration von Argument zu Argument
298 c. Integration von Intervallmitte zu Intervallmitte
298 d. Zweifache Integration
... weniger
Bibliographische Angaben
- Autor: B. Weinstein
- 1886, Softcover reprint of the original 1st ed., 524 Seiten, Maße: 23,5 cm, Kartoniert (TB), Deutsch
- Verlag: Springer
- ISBN-10: 3642905579
- ISBN-13: 9783642905575
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