Mathematik und plausibles Schliessen
Band 1 Induktion und Analogie in der Mathematik
Dieses Buch verfolgt verschiedene, eng miteinander verbundene Ziele. In erster Linie mochte es Schiilern, Lehrern und Studierenden der Mathematik dienlich sein als Einfiihrnngin einen wichtigen, aher meist vernachlassigten Aspekt der Mathematik. Doch ist...
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Produktinformationen zu „Mathematik und plausibles Schliessen “
Klappentext zu „Mathematik und plausibles Schliessen “
Dieses Buch verfolgt verschiedene, eng miteinander verbundene Ziele. In erster Linie mochte es Schiilern, Lehrern und Studierenden der Mathematik dienlich sein als Einfiihrnngin einen wichtigen, aher meist vernachlassigten Aspekt der Mathematik. Doch ist das Buch in gewissem Sinn auch eine philosophische Abhandlung. Ebenso ist es eine Fortsetzung friiherer Arbeiten und verlangt selbst eine Fortsetzung. Ich werde auf diese Punkte der Reihe nach zu sprechen kommen. 1. Streng genommen besteht unser ganzes Wissen auIlerhalb der Mathematik und der demonstrativen Logik (die ja in der Tat ein Zweig der Mathematik ist) aus Vermutungen. Es gibt natiirlich Ver mutungen und Vermutungen. Es gibt hOchst respektable und zu verlassige Vermutungen wie die in gewissen allgemeinen Gesetzen der Naturwissenschaften niedergelegten. Es giht andere Vermutungen, die weder respektabel noch zuverlassig sind, und die einen zuweilen argern konnen, wenn man sie in der Zeitung Hest. Und zwischen diesen beidenExtremen stehen alle moglichen Arten und Schattierungen von Ver muten, instinktivem Vorausfiihlen und Erraten. Wir sichern die Giiltigkeit unseres mathematischen Wissens durch demonstratives SchliefJen, aber wir stiitzen unsere Vermutungen durch plausibles SchliefJen. Ein mathematischer Beweis besteht aus demon strativem SchlieIlen, aber der Induktionsbeweis des Physikers, der Indizienbeweis des Juristen, der dokumentarische Beweis des Ristori kers, der statistische Beweis des Nationalokonomen gehoren zum plausiblen SchlieIlen. Der Unterschied zwischen den heiden SchluIlweisen ist groIl und mannigfaltig. Demonstratives SchlieBen ist sicher, unbestreitbar und endgiiltig. Plausibles Schlie!3en ist gewagt, strittig und provisorisch.
Inhaltsverzeichnis zu „Mathematik und plausibles Schliessen “
I. Induktion1. Erfahrung und Ansichten
2. Suggestive Beobachtungen
3. Stützende Beobachtungen
4. Die induktive Einstellung
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel I, 1-14.
12. Ja und Nein
13. Erfahrung und Verhalten
14. Der Logiker, der Mathematiker, der Physiker und der Ingenieur
II. Verallgemeinerung, Spezialisierung, Analogie
1. Verallgemeinerung, Spezialisierung, Analogie und Induktion
2. Verallgemeinerung
3. Spezialisierung
4. Analogie
5. Verallgemeinerung, Spezialisierung und Analogie
6. Entdeckung durch Analogie
7. Analogie und Induktion
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel II, 1-46; [Erster Teil, 1-20; Zweiter Teil, 21-46].
1. Die richtige Verallgemeinerung
5. Ein extremer Spezialfall
7. Ein führender Spezialfall
10. Ein repräsentativer Spezialfall
11. Ein analoger Fall
18. Große Analogien
19. Geklärte Analogien
20. Zitate
21. Die Vermutung E
44. Ein Einwand und ein erster Zugang zu einem Beweis
45. Ein zweiter Zugang zu einem Beweis
46. Gefahren der Analogie
III. Induktion in der Geometrie des Raumes
1. Polyeder
2. Erste stützende Beobachtungen
3. Weitere stützende Beobachtungen
4. Eine strenge Probe
5. Es gibt Verifikationen und Verifikationen
6. Ein ganz anderer Fall
7. Analogie
8. Raumteilungen
9. Modifizierung der Aufgabe
10. Verallgemeinerung, Spezialisierung, Analogie
11. Eine weitere analoge Aufgabe
12. Zusammenstellung von analogen Aufgaben
13. Viele Aufgaben sind manchmal leichter als nur eine
14. Eine Vermutung
15. Voraussage und Verifikation
16. Noch einmal und besser
17. Induktion legt Deduktion, der Spezialfall den allgemeinen Beweis nahe
18. Weitere Vermutungen
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel III, 1-41.
21. Induktion: Anpassung der Gedanken, Anpassung der Sprache
31. Descartes' Untersuchung über Polyeder
36. Supplementäre Raumwinkel, supplementäre sphärische Polygone
IV. Induktion in der Zahlentheorie
1. Pythagoreische Dreiecke
2. Quadratsummen
3. Über die Summe von vier
... mehr
ungeraden Quadratzahlen
4. Untersuchung eines Beispiels
5. Tabellarisierung der Beobachtungen
6. Wie lautet die Regel?
7. Von der Natur induktiver Entdeckung
8. Von der Natur induktiver Beweisgründe
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel IV., 1-26.
1. Bezeichnung 26. Gefahren der Induktion]
V. Diverse Induktionsbeispiele
1. Reihenentwicklung
2. Annäherung
3. Grenzwerte
4. Wir versuchen zu widerlegen
5. Wir versuchen zu beweisen
6. Die Rolle der induktiven Phase
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel V, 1-18.
15. Man erkläre die beobachteten Regelmäßigkeiten
16. Man klassifiziere die beobachteten Tatsachen
18. Worauf beruht die Unterscheidung?]
VI. Eine allgemeinere Formulierung
1. Euler
2. Eulers Schrift
3. Übergang zu einem allgemeineren Gesichtspunkt
4. Schematischer Umriß von Eulers Schrift
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel VI, 1-25.
1. Erzeugende Funktionen
7. Eine kombinatorische Aufgabe in der Geometrie der Ebene
10. Quadratsummen
19. Noch eine Rekursionsformel
20. Noch ein ganz außergewöhnliches Gesetz der ganzen Zahlen betreffend die Summe ihrer Teiler
24. Wie Euler eine Entdeckung entging
25. Eine Verallgemeinerung des Eulerschen Satzes über ?(n).
VII. Vollständige Induktion
1. Die induktive Phase
2. Die beweisende Phase
3. Untersuchung von Übergängen
4. Die Technik der vollständigen Induktion
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel VII, 1-18.
12. Manchmal ist es weniger Mühe, mehr zu beweisen
14. Man soll den Satz ausbalancieren
15. Ausblick
17. Sind n beliebige Zahlen gleich?
VIII. Maxima und Minima
1. Lösungsschemata
2. Beispiel
3. Das Schema der berührenden Niveaulinie
4. Beispiele
5. Das Schema der partiellen Variation
6. Der Satz von dem arithmetischen und geometrischen Mittel und seine ersten Konsequenzen
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel VIII, 1-63; [Erster Teil, 1-32; Zweiter Teil, 33-63.
1. Entfernungsminima und -maxima in der ebenen Geometrie
2. Entfernungsminima und -maxima in der räumlichen Geometrie
3. Niveaulinien in einer Ebene
4. Niveauflächen im Raum
11. Das Prinzip der kreuzenden Niveaulinie
22. Das Prinzip der partiellen Variation
23. Existenz des Extremums
24. Eine Modifizierung des Schemas der partiellen Variation: ein unendlicher Prozeß
25. Eine weitere Modifizierung des Schemas der partiellen Variation: ein endlicher Prozeß
26. Graphischer Vergleich
33. Polygone und Polyeder. Flächeninhalt und Umfang. Volumen und Oberfläche
34. Das gerade Prisma mit quadratischer Grundfläche
35. Der gerade Zylinder
36. Das allgemeine gerade Prisma
37. Die gerade Doppelpyramide mit quadratischer Grundfläche
38. Der gerade Doppelkeigel
39. Die allgemeine gerade Doppelpyramide
43. Eine Anwendung von Geometrie auf Algebra
45. Eine Anwendung von Algebra auf Geometrie
51. Die gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche
52. Der gerade Kegel
53. Die allgemeine gerade Pyramide
55. Die Schachtel ohne Deckel
56. Der Trog
57. Ein Fragment
62. Eine Postamtsaufgabe
63. Eine Aufgabe von Kepler
IX. Physikalische Mathematik
1. Optische Interpretation
2. Mechanische Interpretation
3. Neuinterpretierung
4. Johann Bernoullis Entdeckung der Brachistochrone
5. Archimedes' Entdeckung der Integralrechnung
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel IX, 1-38.
3. In ein gegebenes Dreieck einbeschriebenes Dreieck kleinsten Umfangs
9. Verkehrszentrum für vier Punkte im Raum
10. Verkehrszentrum für vier Punkte in einer Ebene
11. Verkehrsnetz für vier Punkte
12. Auffalten und ausziehen
13. Billard
14. Geophysikalische Forschungsmethode
23. Kürzeste Linien auf einer Polyederfläche
24. Kürzeste (geodätische) Linien auf einer gekrümmten Fläche
26. Eine Konstruktion durch Papierfalten
27. Der Würfel ist gefallen
28. Die Sintflut
29. Stille Wasser sind tief
30. Ein nützlicher Extremfall
32. Die Variationsrechnung
33. Vom Gleichgewicht des Querschnitts zum Gleichgewicht des Körpers
38. Rückblick auf Archimedes' Methode
X. Das isoperimetrische Problem
1. Descartes' induktive Gründe
2. Latente Gründe
3. Physikalische Gründe
4. Lord Rayleighs induktive Günde
5. Wir leiten Konsequenzen ab
6. Wir verifizieren Konsequenzen
7. Sehr nahe dran
8. Drei Formen des isoperimetrischen Satzes
9. Anwendungen und Fragen
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel X, 1-43; [Erster Teil 1-15; Zweiter Teil 16-43].
1. Rückblick
2. Ließe sich irgendein Teil des Resultats anders ableiten?
3. Man entwickle mit größerer Ausführlichkeit
7. Läßt sich die Methode für irgendein anderes Problem benützen?
8. Schärfere Form des isoperimetrischen Satzes
16. Der Stock und die Schnur
21. Zwei Stöcke und zwei Schnüre
25. Didos Problem in der Geometrie des Raumes
27. Halbierungslinien eines ebenen Bereichs
34. Halbierungslinien einer geschlossenen Fläche
40. Eine Figur vielseitiger Vollkommenheit
41. Ein analoger Fall
42. Die regelmäßigen Körper
43. Induktive Gründe
XI. Weitere Arten plausibler Argumente
1. Vermutungen verschiedener Art
2. Wir richten uns nach einem verwandten Fall
3. Wir richten uns nach dem allgemeinen Fall
4. Ist die einfachere Vermutung vorzuziehen?
5. Kultureller Hintergrund
6. Unerschöpflich
7. Geläufige heuristische Annahmen
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel XI, 1-23.
16. Der allgemeine Fall
19. Keine Idee ist wirklich schlecht
20. Einige geläufige heuristische Annahmen
21. Optimismus wird gelegentlich belohnt
23. Numerische Berechnung und der Ingenieur
- Schlußbemerkung
- Lösungen
- Bibliographie
4. Untersuchung eines Beispiels
5. Tabellarisierung der Beobachtungen
6. Wie lautet die Regel?
7. Von der Natur induktiver Entdeckung
8. Von der Natur induktiver Beweisgründe
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel IV., 1-26.
1. Bezeichnung 26. Gefahren der Induktion]
V. Diverse Induktionsbeispiele
1. Reihenentwicklung
2. Annäherung
3. Grenzwerte
4. Wir versuchen zu widerlegen
5. Wir versuchen zu beweisen
6. Die Rolle der induktiven Phase
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel V, 1-18.
15. Man erkläre die beobachteten Regelmäßigkeiten
16. Man klassifiziere die beobachteten Tatsachen
18. Worauf beruht die Unterscheidung?]
VI. Eine allgemeinere Formulierung
1. Euler
2. Eulers Schrift
3. Übergang zu einem allgemeineren Gesichtspunkt
4. Schematischer Umriß von Eulers Schrift
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel VI, 1-25.
1. Erzeugende Funktionen
7. Eine kombinatorische Aufgabe in der Geometrie der Ebene
10. Quadratsummen
19. Noch eine Rekursionsformel
20. Noch ein ganz außergewöhnliches Gesetz der ganzen Zahlen betreffend die Summe ihrer Teiler
24. Wie Euler eine Entdeckung entging
25. Eine Verallgemeinerung des Eulerschen Satzes über ?(n).
VII. Vollständige Induktion
1. Die induktive Phase
2. Die beweisende Phase
3. Untersuchung von Übergängen
4. Die Technik der vollständigen Induktion
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel VII, 1-18.
12. Manchmal ist es weniger Mühe, mehr zu beweisen
14. Man soll den Satz ausbalancieren
15. Ausblick
17. Sind n beliebige Zahlen gleich?
VIII. Maxima und Minima
1. Lösungsschemata
2. Beispiel
3. Das Schema der berührenden Niveaulinie
4. Beispiele
5. Das Schema der partiellen Variation
6. Der Satz von dem arithmetischen und geometrischen Mittel und seine ersten Konsequenzen
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel VIII, 1-63; [Erster Teil, 1-32; Zweiter Teil, 33-63.
1. Entfernungsminima und -maxima in der ebenen Geometrie
2. Entfernungsminima und -maxima in der räumlichen Geometrie
3. Niveaulinien in einer Ebene
4. Niveauflächen im Raum
11. Das Prinzip der kreuzenden Niveaulinie
22. Das Prinzip der partiellen Variation
23. Existenz des Extremums
24. Eine Modifizierung des Schemas der partiellen Variation: ein unendlicher Prozeß
25. Eine weitere Modifizierung des Schemas der partiellen Variation: ein endlicher Prozeß
26. Graphischer Vergleich
33. Polygone und Polyeder. Flächeninhalt und Umfang. Volumen und Oberfläche
34. Das gerade Prisma mit quadratischer Grundfläche
35. Der gerade Zylinder
36. Das allgemeine gerade Prisma
37. Die gerade Doppelpyramide mit quadratischer Grundfläche
38. Der gerade Doppelkeigel
39. Die allgemeine gerade Doppelpyramide
43. Eine Anwendung von Geometrie auf Algebra
45. Eine Anwendung von Algebra auf Geometrie
51. Die gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche
52. Der gerade Kegel
53. Die allgemeine gerade Pyramide
55. Die Schachtel ohne Deckel
56. Der Trog
57. Ein Fragment
62. Eine Postamtsaufgabe
63. Eine Aufgabe von Kepler
IX. Physikalische Mathematik
1. Optische Interpretation
2. Mechanische Interpretation
3. Neuinterpretierung
4. Johann Bernoullis Entdeckung der Brachistochrone
5. Archimedes' Entdeckung der Integralrechnung
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel IX, 1-38.
3. In ein gegebenes Dreieck einbeschriebenes Dreieck kleinsten Umfangs
9. Verkehrszentrum für vier Punkte im Raum
10. Verkehrszentrum für vier Punkte in einer Ebene
11. Verkehrsnetz für vier Punkte
12. Auffalten und ausziehen
13. Billard
14. Geophysikalische Forschungsmethode
23. Kürzeste Linien auf einer Polyederfläche
24. Kürzeste (geodätische) Linien auf einer gekrümmten Fläche
26. Eine Konstruktion durch Papierfalten
27. Der Würfel ist gefallen
28. Die Sintflut
29. Stille Wasser sind tief
30. Ein nützlicher Extremfall
32. Die Variationsrechnung
33. Vom Gleichgewicht des Querschnitts zum Gleichgewicht des Körpers
38. Rückblick auf Archimedes' Methode
X. Das isoperimetrische Problem
1. Descartes' induktive Gründe
2. Latente Gründe
3. Physikalische Gründe
4. Lord Rayleighs induktive Günde
5. Wir leiten Konsequenzen ab
6. Wir verifizieren Konsequenzen
7. Sehr nahe dran
8. Drei Formen des isoperimetrischen Satzes
9. Anwendungen und Fragen
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel X, 1-43; [Erster Teil 1-15; Zweiter Teil 16-43].
1. Rückblick
2. Ließe sich irgendein Teil des Resultats anders ableiten?
3. Man entwickle mit größerer Ausführlichkeit
7. Läßt sich die Methode für irgendein anderes Problem benützen?
8. Schärfere Form des isoperimetrischen Satzes
16. Der Stock und die Schnur
21. Zwei Stöcke und zwei Schnüre
25. Didos Problem in der Geometrie des Raumes
27. Halbierungslinien eines ebenen Bereichs
34. Halbierungslinien einer geschlossenen Fläche
40. Eine Figur vielseitiger Vollkommenheit
41. Ein analoger Fall
42. Die regelmäßigen Körper
43. Induktive Gründe
XI. Weitere Arten plausibler Argumente
1. Vermutungen verschiedener Art
2. Wir richten uns nach einem verwandten Fall
3. Wir richten uns nach dem allgemeinen Fall
4. Ist die einfachere Vermutung vorzuziehen?
5. Kultureller Hintergrund
6. Unerschöpflich
7. Geläufige heuristische Annahmen
- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel XI, 1-23.
16. Der allgemeine Fall
19. Keine Idee ist wirklich schlecht
20. Einige geläufige heuristische Annahmen
21. Optimismus wird gelegentlich belohnt
23. Numerische Berechnung und der Ingenieur
- Schlußbemerkung
- Lösungen
- Bibliographie
... weniger
Bibliographische Angaben
- Autor: G. Polya
- 2011, 3. Aufl., 404 Seiten, Maße: 22,9 cm, Kartoniert (TB), Deutsch
- Verlag: Springer
- ISBN-10: 3034899327
- ISBN-13: 9783034899321
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