Schwache Lösung der Stokes-Gleichungen für nicht-Newton'sche Fluide

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2012 im Fachbereich Mathematik - Analysis, Note: 1,3, Technische Universität Darmstadt (Analysis, Partielle Differentialgleichungen), Sprache: Deutsch, Abstract: Die grundlegenden Gleichungen in der Strömungsmechanik sind die Navier-Stokes-Gleichungen. Sie stellen ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen dar und beschreiben das Fließverhalten zäher Fluide. Man leitet die Navier-Stokes-Gleichungen unter der Bedingung her, dass die Reibung eine lineare Funktion der Geschwindigkeit ist. In dieser Bachelorarbeit wird die Existenz von schwachen Lösungen unter der Annahme untersucht, dass die Reibung eine beliebige, nichtlineare Funktion der Geschwindigkeit ist. Genauer soll die Nichtlinearität ein monotoner Operator sein, der symmetrische, reelle 3×3-Matrizen auf ebensolche abbildet. Des Weiteren setzen wir voraus, dass das Fluid homogen und inkompressibel ist: Dies impliziert, dass das Geschwindigkeitsfeld divergenzfrei ist. Die daraus resultierenden Stokes-Gleichungen nennen wir allgemeine Stokes-Gleichungen. Das Ziel dieser Bachelorarbeit ist es, folgenden Satz zu beweisen:Seien das dreidimensionale Geschwindigkeitsfeld zur Zeit t = 0 und homogene Dirichlet-Randbedingungen gegeben. Dann existieren genau ein divergenzfreies Geschwindigkeitsfeld u und genau ein Druckfeld p, sodass (u,p) das allgemeine Stokes-Problem im schwachen Sinne löst. Dabei seien äußere Kräfte vernachlässigbar.In diesem Zusammenhang ist die Frage zu klären, welche weiteren Bedingungen an den monotonen, nichtlinearen Operator gestellt werden müssen.Im ersten Kapitel leiten wir die Navier-Stokes-Gleichungen unter Vernachlässigung von äußeren Kräften her, um im zweiten Kapitel das allgemeine Stokes-Problem als Anfangs-Randwert-Problem zu formulieren. Im Anschluss konstruieren wir die Helmholtz-Projektion, mit deren Hilfe wir den Druck aus den Gleichungen eliminieren können. Daraus erhalten wir ein äquivalentes Anfangs-Randwert-Problem. Um dieses zu