Bergmann, R: Translationsinvariante Räume multivariater anis

Die translationsinvarianten Räume sind seit Ende der 1980er Jahre ein wichtiges Werkzeug in der Zerlegung und Analyse von Daten und Funktionen. Sie stellen eine Funktion in verschiedenen Detailstufen dar, wobei sich auf jeder Stufe lokale Eigenschaften der Funktion in den Koeffizienten der Translate wiederfinden. Dazu ist es notwendig, dass die Funktionen einer solchen Zerlegung gut lokalisiert sind. Dies überträgt sich dann auf die von den Translaten der Wavelets aufgespannten orthogonalen Komplemente innerhalb der gestaffelten Räume. Neben diesen theoretischen Eigenschaften haben vor allem die schnellen Algorithmen der Wavelet- Transformation zur großen Verbreitung und Anwendung der Wavelets geführt. In den 1990er Jahren wurden periodische Wavelets entwickelt und in den letzten Jahren mehrdimensionale Wavelets, wie die Shearlets oder Curvelets, die insbesondere spezielle Richtungen in der Zerlegung einer Funktion bevorzugen.Diese Arbeit widmet sich den mehrdimensionalen periodischen translationsinvarianten Räumen, die insbesondere allgemeiner sind als diejenigen, die lediglich durch Tensorproduktbildung aus dem Eindimensionalen hervorgehen, und somit eine Anisotropie in ihren Fourier- Koeffizienten besitzen und gewisse Richtungseigenschaften haben. Diese Richtungspräferenz spiegelt sich auch in den Mustern wider, mit denen die Translate der Funktionen die hier betrachteten Räume bilden.Zunächst wird für die periodischen translationsinvarianten Räume auf dem Torus der Interpolationsfehler betrachtet. Dazu werden die anisotropen periodischen Strang-Fix-Bedingungen eingeführt und mit ihnen Fehlerabschätzungen angegeben, welche die Räume bezüglich der Approximationsgüte für Funktionen mit bestimmten Glattheitseigenschaften charakterisieren.Für die anisotrope periodische Wavelet-Transformation werden Algorithmen vorgestellt, die in ihrer Komplexität den schnellen