Analysis Band 1 (PDF)

Kapitel 1 Die Menge R der reellen Zahlen (S. 1-2)

Nach Vorwort und Einleitung geht es nun richtig los. Vielleicht haben Sie aufgrund Ihrer Schulerfahrung schon konkrete Erwartungen und sind ganz gespannt darauf, nun endlich ganz komplizierte Funktionen zu differenzieren und zu integrieren.

Das werden wir natürlich auch tun, aber vorläufig geht es erst einmal darum, Sie mit den reellen Zahlen vertraut zu machen. Das hört sich ganz harmlos an, aber da bei dieser Gelegenheit auch viele grundlegende Begriffe und Techniken erklärt werden sollen und Ihr Einstieg in die Welt der Mathematik besonders "sanft" sein soll, wird dies ein recht umfangreiches Kapitel. Die Struktur ist wie folgt:

In Abschnitt 1.1 wird die Strategie erklärt, nach der wir die Axiome für die reellen Zahlen nach und nach entwickeln werden. Die Zahlen aus der Schulerfahrung, die wir die "naiven" Zahlen nennen werden, bilden unser Anschauungsmaterial.

Als Erstes geht es dann in Abschnitt 1.2 um Mengenlehre. Eigentlich ist es nur erforderlich, sich über einige Schreibweisen und einfache Konstruktionen zu verständigen: Wie redet man über Mengen, was ist der Durchschnitt von zwei Mengen, . . . ? Zusätzlich wird aber auch die viel grundsätzlichere Frage diskutiert, warum die Begründung einer mathematischen Theorie in der Mengenlehre sinnvoll ist.

In Abschnitt 1.3 sollen Sie verstehen, was es eigentlich genau mit der Addition und der Multiplikation auf sich hat. Da Sie in diesem Abschnitt auch Ihren ersten richtigen Beweis kennen lernen werden, ist ein ausführlicher Exkurs über Logik und Beweise eingeplant. . Je zwei Zahlen kann man auch miteinander vergleichen, welche ist größer? zugehörige Theorie der Ordnung" wird in Abschnitt 1.4 besprochen.

Dann sollen in Abschnitt 1.5 die natürlichen Zahlen innerhalb der reellen Zahlen eingeführt werden, also die Zahlen 1, 1+1, 1+1+1, . . . Da man auf den Pünktchen aber keine Theorie aufbauen kann, wird die Definition etwas

Ehrhard Behrends ist Professor für Mathematik an der FU Berlin. Er ist Autor von zahlreichen Fachbüchern, auch setzt er sich - u.a. als Betreuer der Internetseite www.mathematik.de - intensiv für die Popularisierung von Mathematik ein. Ebenfalls bei Vieweg erschienen "Alles Mathematik" (herausgegeben mit M. Aigner) und "Fünf Minuten Mathematik".