Der zentrale Grenzwertsatz. Verfeinerungen und die funktionale Version (PDF)

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2016 im Fachbereich Mathematik - Stochastik, Note: 1,7, Universität Augsburg (Institut für Mathematik), Sprache: Deutsch, Abstract: In der modernen (Wirtschafts-)Mathematik kommt man oft in die Situation, mit Zufallsgrößen oder auch Zeitreihen arbeiten zu müssen, die sich in irgendeiner Form auf Summen unabhängiger Zufallsvariablen zurückführen lassen. Ein wichtiges Forschungsgebiet ist deshalb deren approximative Einordnung und Beschreibung. Ein besonders prominentes Ergebnis ist hierbei der zentrale Grenzwertsatz, der 1920 erstmals von George Pólya unter dieser Bezeichnung aufgeführt wurde. Er sagt unter anderem aus, dass sich der Mittelwert unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen für große Stichproben einer Normalverteilung annähert. Er findet häufige Anwendung in der Praxis, zum Beispiel im Risikomanagement, wenn es um Wahrscheinlichkeiten von Extremereignissen geht, oder auch bei der Bewertung von Optionen im Aktienhandel. Damit in diesen Gebieten verlässliche Ergebnisse und Berechnungen erzielt werden, ist es aber wichtig, die Konvergenzaussage für unterschiedliche Fälle zu spezifizieren und passende Ableitungen zu entwickeln. In dieser Arbeit sollen deshalb einige Ergebnisse vorgestellt werden, die auf dem zentralen Grenzwertsatz aufbauen.

Dabei wird zuerst kompakt auf dessen genaue Definition und deren Herleitung im Allgemeinen eingegangen (Kapitel 2). Anschließend wird versucht, die recht allgemein gehaltene Konvergenzaussage durch verschiedene Werkzeuge genauer einzuordnen (Kapitel 3). Im letzten Teil der Arbeit wird schließlich dessen Aussage auf das Gebiet der stochastischen Prozesse übertragen und analoge Ergebnisse für Summenprozesse unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen vorgestellt (Kapitel 4).