Einführung in die Periodische Spline-Interpolation an einfachen Beispielen (PDF)

Forschungsarbeit aus dem Jahr 2009 im Fachbereich Mathematik - Analysis, , Sprache: Deutsch, Abstract: In dieser Abhandlung wird anhand von einfachen Beispielen die Vorgehensweise bei der periodischen Spline-Interpolation erläutert. Periodisch heißt hier nicht, dass man nur periodische Funktionen oder geschlossene Kurven erzeugen kann, was eine starke Einschränkung bedeuten würde. Mithilfe der periodischen Spline-Interpolation erhält man auch translationsinvariante Funktionen und Kurven. Es müsste eigentlich statt "periodische Spline-Interpolation" genauer "Interpolation mit periodischen Randbedingungen" heißen. Zwingend periodisch sind nur die Ableitungen ersten und zweiten Grades, wenn man für die Segmente ganzrationale Funktionen dritten Grades oder sogenannte kubische Bézier-Kurven verwendet. Die Segmente für Spline-Funktionen werden in dieser Abhandlung in der Taylor-Form dargestellt. Die Segmente für Spline-Kurven werden sowohl in der Bernstein-Bézier-Form (Bézier-Spline-Kurven) als auch unter Verwendung von B-Spline-Basisfunktionen (B-Spline-Kurven) angegeben. Die Koeffizienten für die Taylor-Form, die Bézier-Punkte für die Bernstein-Bézier-Form und die Kontrollpunkte (de Boor-Punkte) für die Darstellung unter Verwendung von B-Spline-Basisfunktionen werden hier nach einer neuartigen iterativen Methode berechnet. Einschränkungen, was die Anzahl der Interpolationspunkte (Datenpunkte) angeht, müssen nicht gemacht werden. Die Rechenzeit für die Koeffizienten (Taylor-Form), Bézier-Punkte oder Kontrollpunkte (de Boor-Punkte) für einen XP-Rechner (AMD Athlon Dual Core Processor 3800+) mit einem als JAVA-Applet geschriebenen Programm liegt für 10000 Interpolationspunkte (Datenpunkte) bei rund 19 s. Als kleine Hilfe für Programmierer werden wesentliche Programmteile in Form eines Struktogramms angegeben.