Lösungsstrategie für binäre quadratische Formen (PDF)

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2010 im Fachbereich Mathematik - Zahlentheorie, Note: 1,15, Humboldt-Universität zu Berlin (Mathematik), Sprache: Deutsch, Abstract: Die vorliegende Bachelorarbeit befasst sich mit der Frage nach einer Lösungsstrategie für
Gleichungen der Art
ax^2 + bxy + cy^2 = n.
Diese Gleichungen werden "binäre quadratische Formen" genannt.

Zu Beginn der Arbeit wird ein Spezialfall der quadratischen Formen betrachtet, nämlich Gleichungen der Form x^2+y^2=n. Es wird also die Frage geklärt, welche Zahlen sich als Summe zweier Quadrate darstellen lassen.
Im darauffolgenden Kapitel wird der sogenannte "gaußsche Zahlenring" erläutert, der geometrisch gesehen ein Gitternetz in C ist.
Im 4. Kapitel wird dann erörtert, wie man mit Hilfe der Matrizenschreibweise erkennen kann, um welches geometrische Objekt es sich bei der jeweiligen quadratischen Form handelt. Quadratische Formen können als Punkte mit ganzzahligen Koordinaten auf bestimmten Kegelschnitten interpretiert werden.
In Kapitel 5 lernen wir eine Transformation kennen, mit deren Hilfe wir quadratische Formen in leichter zu berechnende umwandeln und dabei die Anzahl der ganzzahligen Lösungen erhalten.
Schließlich wird im letzten Abschnitt dieser Arbeit eine Möglichkeit herausgearbeitet, wie man von zwei gegebenen definiten quadratischen Formen entscheiden kann, ob sie äquivalent sind oder nicht. Diese Problemstellung ist Gegenstand der Reduktionstheorie.