Stochastik für Einsteiger (PDF)

9 Urnen- und Teilchen/Fächer-Modelle (S. 63-64)

Viele stochastische Vorgänge lassen sich durch Urnen– oder Teilchen/Fächer–Modelle beschreiben. Der Vorteil einer solchen abstrakten Beschreibung besteht darin, dass alle unwesentlichen Aspekte der ursprünglichen Fragestellung wegfallen. Als Beispiel für diesen Abstraktionsprozess betrachten wir eine Standardsituation der statistischen Qualitätskontrolle.

Eine Werkstatt hat eine Schachtel mit 10 000 Schrauben einer bestimmten Sorte gekauft. Die Liefer.rma behauptet, höchstens 5% der Schrauben hielten die vorgeschriebenen Maßtoleranzen nicht ein und seien somit Ausschuss. Bei einer Prüfung von 30 rein zufällig ausgewählten Schrauben fand man 6 unbrauchbare. Sollte die Sendung daraufhin reklamiert werden? Für die stochastische Modellierung dieses Problems ist völlig belanglos, ob es sich um Schrauben, Computerchips, Autozubehörteile o.Ä. handelt. Wichtig ist nur, dass eine Grundgesamtheit von N (= 10 000) Objekten vorliegt, wobei wir uns als Objekte Kugeln vorstellen wollen.

Der Tatsache, dass es Objekte zweierlei Typs (unbrauchbar/brauchbar) gibt, wird dadurch Rechnung getragen, dass rote und schwarze Kugeln vorhanden sind. Ersetzen wir die Schachtel durch ein im Folgenden Urne genanntes undurchsichtiges Gefäß, und schreiben wir r bzw. s für die Anzahl der roten bzw. schwarzen Kugeln in dieser Urne, so besteht der Urneninhalt aus N = r + s gleichartigen, sich nur in der Farbe unterscheidenden Kugeln, wobei N bekannt ist und r,s unbekannt sind. Die Behauptung, höchstens 5% der gelieferten Schrauben seien Ausschussware, ist gleichbedeutend damit, dass die Anzahl r roter Kugeln höchstens gleich 0.05?N ist.

Um diese Annahme zu prüfen, werden der Urne rein zufällig nacheinander n Kugeln entnommen. Würden Sie an der Behauptung zweifeln, falls sich in der entnommenen

Norbert Henze ist Professor für Mathematische Stochastik an der Universität Karlsruhe (TH).

"Der Zufall führt Regie bei den wöchentlichen Ziehungen der Lottozahlen und er steht Pate bei Spielen wie Mensch-ärgere-Dich-nicht! oder Roulette - wobei der Zufall meist mit Glück oder Pech verbunden wird. [ ] Das Buch bietet für Einsteiger und Wieder-Einsteiger einen sehr guten Zugang in die Theorie endlicher beziehungsweise diskreter Wahrscheinlichkeitsräume."
RISKNEWS, 02/2005