Zur Geometrie der Dreieckspyramiden (PDF)

Examensarbeit aus dem Jahr 2007 im Fachbereich Mathematik - Geometrie, Note: 1,0, Universität zu Köln (Erziehungswissenschaftliche Fakultät), Sprache: Deutsch, Abstract: Wie schon der Titel andeutet, sollen in dieser Arbeit geometrische Eigenschaften von Dreieckspyramiden (Im Folgenden auch: Pyramiden) erarbeitet werden. Diese Pyramiden besitzen vier Ecken, sechs Kanten und vier dreieckige Seitenflächen. Daher werden diese Polyeder in der Literatur aufgrund des griechischen Wortes für Vierflächner (tetráedron) meist als "Tetraeder" bezeichnet. Im weiteren Verlauf werde ich diesen Begriff jedoch für den bekannten platonischen Körper reservieren, der eine regelmäßige Dreieckspyramide darstellt.

Den allgemeinen (also auch unregelmäßigen) Dreieckspyramiden kommt bis heute sowohl im Schulunterricht als auch in der Fachliteratur eine Außenseiterrolle zu. Dies liegt meiner Ansicht nach zum einen an dem bevorzugten Blick auf die Geometrie des Tetraeders als Element der platonischen Körper und zum zweiten daran, dass andere Pyramiden, allen voran die quadratischen Pyramiden als Bauwerke aus den alten Kulturen, eine größere Popularität genießen. Dies ist jedoch neben der sogleich folgenden interessanten Fragestellung nur ein Aspekt, der für die Erarbeitung der Eigenschaften dieser "Ausnahmepyramiden" spricht.

Die Dreieckspyramide kann als räumliches Analogon zum Dreieck aufgefasst werden. Die Herleitung dieses Verständnisses ergibt sich aus dem Zusammenhang ihrer Definitionen: Während drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, ein Dreieck festlegen, bestimmen vier Punkte, die nicht in einer Ebene liegen (und drei von ihnen nicht kollinear sind), eine Dreieckspyramide. Diese Analogie zwischen Ebene und Raum motiviert die vorrangige Fragestellung dieser Arbeit. Ausgehend von Sätzen und Sachverhalten aus der Dreiecksgeometrie soll untersucht werden, inwiefern sich Analogien im Raum für die Dreieckspyramiden ergeben. Dabei wird sich zeigen, dass beim Übergang von der Ebene in den Raum nicht alle ebenen Tatsachen übertragbar sind. Es kann jedoch auch vorkommen, dass gefundene Analogien nur dann existieren, wenn sie an bestimmte Bedingungen geknüpft sind.
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