Einführung in die klassische Mathematik I

Gleichungstheorie.- 7.5. Der Satz vom primitiven Element.- 7.6. Die Galoissche Gruppe eines Polynoms.- 7.7. Ein Irreduzibilitätskriterium.- 7.8. Irreduzible Gleichungen von Primzahlgrad mit zyklischer Gruppe.- 7.9. Die Kreisteilungsgleichung.- 7.10. Der Hauptsatz über die Auflösung von Gleichungen mit Hilfe von Radikalen.- 7.11. Permutationsgruppen.- 7.12. Über irreduzible Gleichungen von Primzahlgrad.- 7.13. Gleichungen fünften Grades mit symmetrischer Gruppe.- 8. Die Anfänge der komplexen Funktionentheorie.- 8.1. Einleitung: Aus einem Brief von Gauss an Bessel.- 8.2. Grundbegriffe.- 8.3. Das Linienintegral.- 8.4. Die Cauchyschen Integralformeln.- 8.5. Potenzreihenentwicklung.- 8.6. Koeffizientenabschätzung.- 8.7. Prinzip vom Maximum des Absolutbetrages.- 8.8. Laurent-Entwicklung.- 8.9. Residuen.- 8.10. Der Doppelreihensatz.- 8.11. Analytische Fortsetzung.- 9. Ganze Funktionen.- 9.1. Funktionen mit endlich vielen singulären Stellen.- 9.2. Der Weierstraßsche Produktsatz.- 9.3. Die ?-Funktion.- 9.4. Die Stirlingsche Formel.- 10. Riemannsche Flächen.- 10.1. Problemstellung der Funktionentheorie im 19. Jahrhundert.- 10.2. Die erweiterte komplexe Ebene.- 10.3. Die n-te Wurzel.- 10.4. Definition der Riemannschen Fläche.- 10.5. Die Riemannsche Fläche einer algebraischen Funktion.- 10.6. Die Topologie geschlossener Riemannscher Flächen.- 10.7. Polygonkomplexe.- 10.8. Klassifikation der orientierbaren geschlossenen Flächen.- 11. Meromorphe Differentiale und Funktionen auf geschlossenen Riemannschen Flächen.- 11.1. Differentiale und Integrale auf Riemannschen Flächen.- 11.2. Der Riemannsche Existenzsatz für Differentiale.- 11.3. Die Riemannschen Periodenrelationen.- 11.4. Meromorphe Funktionen.- 11.5. Riemannsche Flächen vom Geschlecht 0.- 11.6. Der Satz von Riemann und Roch.- 11.7. Der Körper der meromorphen Funktionen auf einer geschlossenen Riemannschen Fläche.- 12. Die Sätze von Abel und Jacobi.- 12.1. Der Satz von Abel.- 12.2. Nicht-spezielle Divisoren.- 12.3. Die analytische Natur von ?A.- 12.4. Der Satz von Jacobi und das Jacobische Umkehrproblem.- 13. Elliptische Funktionen.- 13.1. Die elliptischen Funktionen im Rahmen der Riemannschen Funktionentheorie.- 13.2. Konstruktion der elliptischen Funktionen.- 13.3. Klassifikation der Riemannschen Flächen vom Geschlecht 1.- 13.4. Die elliptische Modulfunktion.- 13.5. Der Picardsche Satz in der Theorie der ganzen Funktionen.- 14. Riemannsche Geometrie.- 14.1. Riemanns Habilitationsvortrag.- 14.2. n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten.- 14.3. Tangentialvektoren.- 14.4. Geodätische Linien.- 14.5. Riemannsche Normalkoordinaten.- 14.6. Der Riemannsche Krümmungstensor.- 14.7. Tensoren als Multilinearformen.- 14.8. Der Zusammenhang zwischen dem Krümmungstensor und der Form Q(a, b).- 14.9. Orthonormierte Basen.- 14.10. Die Gaußsche Krümmung.- 14.11. Räume konstanter Krümmung.- 14.12. Konforme Abbildung.- 14.13. Nichteuklidische Geometrie.- 15. Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe.- 15.1. Problemstellung.- 15.2. Die Funktionalgleichung der ?-Funktion.- 15.3. Über die Nullstellen der ?-Funktion.- 16. Die Anfänge der Theorie der algebraischen Zahlen.- 16.1. Die Gaußschen Zahlen.- 16.2. Einleitung zu den folgenden Kapiteln 17 bis 21.- 17. Körpertheorie.- 17.1. Körperisomorphismen.- 17.2. Normale Erweiterungen und Galoissche Gruppe.- 17.3. Der Hauptsatz der Galoisschen Theorie.- 17.4. Die Gruppe einer Gleichung.- 17.5. Das Kompositum zweier Körper.- 17.6. Spur, Norm, Differente und Diskriminante.- 18. Die Dedekindsche Idealtheorie.- 18.1. Ganze Elemente.- 18.2. Gitter in endlichen Erweiterungen von P.- 18.3. Die ganzen Zahlen quadratischer Zahlkörper.- 18.4. Die Ideale von OK.- 18.5. Der Hauptsatz der Idealtheorie.- 18.6. Folgerungen aus dem Hauptsatz.- 18.7. Die Norm eines Ideals.- 18.8. Kongruenzen.- 18.9. Die Primidealzerlegung in quadratischen Zahlkörpern.- 19. Idealklassengruppe und Einheitengruppe.- 19.1. Die Endlichkeit der Klassenzahl.- 19.2. Einheiten in quadratischen Zahlkörpern.- 19.3. Die Struktur der Einheitengruppe in Ordnungen algebraischer Zahlkörper.- 19.4. Die logarithmischen Komponenten.- 19.5. Der Kern von l.- 19.6. Das Bild von l.- 19.7. Der Rang von l(E).- 19.8. Der Dirichletsche Einheitensatz als Aussage über Diophantische Gleichungen.- 20. Die Dedekindsche ?-Funktion.- 20.1. Definition der Dedekindschen ?-Funktion.- 20.2. Ansatz zum Beweis von Satz 1.- 20.3. Reduktion auf eine Volumenberechnung.- 20.4. Volumenberechnung.- 20.5. Beweis von Satz 2.- 20.6. Anwendung.- 21. Quadratische Formen und quadratische Zahlkörper.- 21.1. Moduln in quadratischen Zahlkörpern.- 21.2. Vergleich mit der Idealgruppe.- 21.3. Formen und Moduln.- 22. Differente und Diskriminante.- 22.1. Relative Erweiterungen.- 22.2. Komplementärmoduln.- 22.3. Der zweite Dedekindsche Hauptsatz.- 23. Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen.- 23.1. Algebraische Funktionenkörper.- 23.2. Die Riemannsche Fläche.- 23.3. Die Ordnung einer Funktion in einem Punkt.- 23.4. Normalbasen.- 23.5. Der einem Divisor zugeordnete Funktionenraum.- 23.6. Differentiale.- 23.7. Der Satz von Riemann und Roch.- 24. Die Geometrie der Zahlen.- 24.1. Der Gitterpunktsatz.- 24.2. Anwendung auf die Ideale eines algebraischen Zahlkörpers.- 25. Normale Erweiterungen von algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern.- 25.1. Normale Erweiterungen.- 25.2. Beweis des Dedekindschen Differentensatzes.- 25.3. Kreisteilungskörper.- 25.4. Die ?-Funktion der Kreisteilungskörper.- 25.5. Der Satz von Kronecker und Weber.- 26. Ganze Funktionen endlicher Wachstumsordnung.- 26.1. Problemstellung.- 26.2. Ganze Funktionen endlicher Ordnung.- 26.3. Anwendung auf die Riemannsche ?-Funktion.- 27. Beweis des Primzahlsatzes.- 27.1. Hadamard und de laValléePoussin.- 27.2. Die Tschebyschewsche Funktion.- 27.3. Die Methode der komplexen Integration.- 27.4. Ansatz zum Beweis von Satz 3.- 27.5. Über die Nullstellen der ?-Funktion.- 28. Kombinatorische Topologie.- 28.1. Polyeder im ?n.- 28.2. Topologische Polyeder.- 28.3. Die Homologiegruppen eines Polyeders.- 28.4. Berechnung der Homologiegruppen in einfachen Fällen.- 28.5. Betti-Zahlen und Eulersche Charakteristik.- 28.6. Die Fundamentalgruppe.- 28.7. Die Kantenwegegruppe eines Polygonkomplexes.- 28.8. Beschreibung der Kantenwegegruppe durch Erzeugende und Relationen.- 28.9. Überlagerungsräume.- 28.10. Decktransformationen.- 28.11. Faktorräume.- 29. Die Idee der Riemannschen Fläche.- 29.1. Der Begriff der reellen n-dimensionalen Mannigfaltigkeit.- 29.2. Definition der Riemannschen Fläche.- 29.3. Orientierbarkeit der Riemannschen Flächen.- 29.4. Meromorphe Differentiale.- 29.5. Das Dirichletsche Integral auf einer Riemannschen Fläche.- 29.6. Das Dirichletsche Prinzip.- 29.7. Das Poissonsche Integral.- 29.8. Das Dirichletsche Prinzip für den Kreis.- 29.9. Der Glättungsprozeß.- 29.10.Ansatz zum Beweis des Existenzsatzes für Differentiale.- 29.11. Beweis des Dirichletschen Prinzips.- 29.12. Beweis des Riemannschen Existenzsatzes für Differentiale auf geschlossenen Riemannschen Flächen.- 30. Uniformisierung.- 30.1. Der Begriff der Uniformisierung.- 30.2. Der Riemannsche Abbildungssatz.- 30.3. Die Automorphismen der einfach zusammenhängenden Riemannschen Flächen.- 30.4. Normalform einer Riemannschen Fläche.- Anhang 1. Ringe.- A 1.1. Grundbegriffe über Ringe.- A 1.2. Euklidische Ringe.- A 1.3. Die Charakteristik eines Ringes.- A 1.4. Moduln über euklidischen Ringen.- A 1.5. Körperkonstruktion.- A 1.6. Polynome über Körpern.- Anhang 2. Mengentheoretische Topologie.- A 2.1. Definition des topologischen Raumes.- A 2.2. Kompakte Räume.- Anhang 3. Die Gaußsche Integralformel.- Anhang 4. Euklidische Vektor- und Punkträume.- Anhang 5. Projektive Räume.- Verwendete und weiterführende neuere Literatur.- Namenverzeichnis.