Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik (PDF)

4 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen (S. 167-168)

4.1 Der Grenzwertbegriff

Bei vielen funktional (d.h. durch mathematische Funktionen) darstellbaren Prozessen (z.B. Wachstumsprozesse, Kostenentwicklungen, Nachfrage- und Angebotshewegungen, Gewinn-und Erlosschwankungen u.v.a.m.) kommt es nicht nur auf dieabsoluten Zahlenwerte der beteiligten Variablen an, sondern ebenso (und ganz besonders) auf deren wechselseitig bedingte Bewegung, Entwicklung oder Änderung. Im folgenden Kapitel (Kap. 5) werden wir mit der dort behandelten Differentialrechnung einmächtiges Werkzeug in die Hände bekommen, um derartige Prozessänderungen beschreiben und analysieren zu können, Es wird sich herausstellen (in Kap. 5), dass die Differentialrechnung es mit (sehr) kleinen Andeningen der beteiligten Variablen zu tun hat. Um derartige Änderungen mathematisch sinnvoll beschreiben zu können, benötigt man den Grenzwertbegriff.

Das richtige Verständnis dieses nicht immer handlichen Begriffes ist grundlegend für das richtige Verständnis der Differentialrechnung. Im folgenden sollen daher die wesentlichen Ideen des Grenzwertes von Funktionen diskutiert werden und Methoden zur Grenzwertermittlung bereitgestellt werden, soweit sie mathematisch notwendig sind, bei ökonomischen Anwendungen unmittelbar einsetzbar oder für das Verständnis des allgemeinen Funktionsbegriffes im Hinblick auf die später zu behandelnde Differentialrechnung notwendig sind.

Der Grenzwertbegriff ist mathematisch nicht unmittelbar zugänglich und bietet bei erster oberflächlicher Betrachtung reichlich Fallstricke. Wie soll man sich denn auch richtig konkret vorstellen, was es bedeutet, einer Variablen oder einem Funktionswert „beliebig nahe" zu kommen (evtl. ohne ihn zu erreichen) ? Andererseits kennt man auch im nichtmathematischen Bereich, selbst in der Alltagssprache, eine intuitive Verwendung von „Grenzprozessen" der hier zu diskutierenden Art. So ist beispielsweise die

Prof. Dr. rer. nat. Jürgen Tietze ist Professor für Wirtschafts- und Finanzmathematik am Fachbereich Wirtschaftswissenschaften der Fachhochschule Aachen.