Filtertechniken in der Topologieoptimierung (PDF)

Einleitung:
In der Topologieoptimierung ist es, wie bei den meisten Problemstellungen in der Numerik, nötig die Problemformulierung so zu gestalten, dass man mit möglichst geringem Rechenaufwand ein möglichst gutes Ergebnis erzielt. Dazu werden Vereinfachungen getroffen, sowohl innerhalb der Strukturanalyse, wofür die Finite-Elemente-Methode (FEM) herangezogen wird, als auch innerhalb der Strukturoptimierung.
Aus der FEM bekannte Folgefehler werden mit dem Begriff Locking umschrieben. Diese Phänomene sind nicht Teil dieser Arbeit, deshalb werden Interessierte auf die Literatur (z.B. Koschnick) verwiesen.
Auch während des Optimierungsvorgangs kommen Fehler auf. Gewollt ist ein homogen verteiltes Material zu konzentrieren. So entstehen fachwerkartige Strukturen, die eine höhere Steifigkeit haben, als ein Bauteil mit derselben jedoch homogen verteilten Materialmenge. Auf dem Weg zu einem Ergebnisdesign entstehen optimierungsbasierte Fehler, sogenannte Schachbrettmuster (checkerboarding) oder Einschlüsse. Außerdem bilden sich infolge des iterativen Prozesses 'kurvige' Strukturen, die dem Wachstum in der Natur ähneln. Diese ungewollten Defekte sollen beseitigt werden. Aus diesem Grund ist es nötig Filter einzusetzen, die durch Filterung des Ergebnisdesigns die genannten Fehler korrigieren.
Ziel dieser Arbeit ist es, einen Überblick über solche Filtertechniken zu bieten und einen auf der Helmholtz-DGL basierten Filter zu implementieren. Dazu werden die Ursachen der Defekte möglichst genau lokalisiert und diskutiert. Anschließend sollen Tests die gemachten Aussagen verifizieren.