Herleitung und Lösung der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung. Verständlich erklärt (PDF)

Facharbeit (Schule) aus dem Jahr 2022 im Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Note: 1,0 (Schweiz: 6,0), , Sprache: Deutsch, Abstract: Gegenstand dieser Arbeit ist die sogenannte "Wärmeleitungsgleichung", einer der bekanntesten Differentialgleichungen. Dies sind Gleichungen, die uns etwas über die Änderung einer Funktion sagen. Funktionen zu finden, die solche Gleichungen erfüllen, ist jedoch meistens viel schwieriger, als beispielsweise eine quadratische Gleichung zu lösen, und viele von ihnen sind nicht einmal exakt lösbar. Diesen Gleichungen kann man auch noch gewisse Bedingungen für die Lösungen hinzufügen, wenn nur bestimmte Lösungen von Interesse sind.

In dieser Arbeit soll die Herleitung und Lösung der Wärmeleitungsgleichung mit gewählten Bedingungen so erklärt werden, dass auch Gymnasiastinnen und Gymnasiasten sie verstehen können, und vorher noch das dazu erforderte Vorwissen vermittelt werden. Hierzu werden die Herleitung und Lösung, die in Internetquellen zu finden sind, präsentiert und auf verständliche Weise erklärt, indem mehr Umformungsschritte und entscheidende Ideen erläutert werden.

Die Wärmeleitungsgleichung und die gewählten Bedingungen können mithilfe dreier physikalischer Gesetzmässigkeiten und mathematischer Umformungen hergeleitet werden. Die Lösung derer mit Berücksichtigung der Bedingungen erfordert einige Schritte, wobei verschiedene Methoden verwendet werden. Die Herleitung und Lösung zu verstehen, erfordert außerdem Kenntnisse im Bereich der Funktionen von zwei Variablen, partiellen Ableitungen und Differentialgleichungen allgemein.