Nichtlineare Abhängigkeitsmaße - Messung von Abhängigkeiten mithilfe von Copulas (ePub)

Studienarbeit aus dem Jahr 2006 im Fachbereich BWL - Bank, Börse, Versicherung, Note: 1,0, Ludwig-Maximilians-Universität München (Finance & Banking), Veranstaltung: Seminar zum Risikomanagement, Sprache: Deutsch, Abstract: Standardmäßig werden in der multidimensionalen Risikomessung zur Berücksichtigung von Abhängigkeiten der Korrelationskoeffizient nach Bravais/Pearson oder Rangkorrelationskoeffizienten verwendet. Diese Abhängigkeitsmaße basieren auf der Annahme, dass Renditen von Finanzmarktinstrumenten durch die Normalverteilung approximiert werden können. Mit der wachsenden Erkenntnis, dass im Zuge der Entwicklung komplexer Finanzmarktinstrumente die These normalverteilter Zufallsvariablen zugunsten von asymmetrischen und leptokurtischen (fat-tailed) Verteilungen zurückgewiesen werden muss, steigt auch die Notwendigkeit, das Verständnis von Abhängigkeiten grundlegend zu überdenken. Überdies weisen Finanzmarktbeobachtungen asymmetrische Abhängigkeiten auf, die sich in einer höheren Korrelation negativer als positiver Entwicklungen zeigen. Damit können grundlegende Annahmen für den Value at Risk (VaR) nicht gehalten werden. Übergreifende Definitionen von Abhängigkeiten sind gefordert.
Copula-Funktionen beseitigen die bekannten Nachteile linearer Risikomaße, die eine gleichmäßig starke Abhängigkeit von Zeitreihen über den gesamten Träger der Verteilung, auch an den Rändern, unterstellen. Stattdessen werden die Abhängigkeiten mithilfe von Copulas funktional modelliert und können in den kritischen Bereichen besonders ausgeprägt sein. Die flexible Einsatzmöglichkeit von Copula-Funktionen zur Modellierung multivariater Abhängigkeiten wird durch das Theorem von Sklar deutlich, nach dem sich multivariate Verteilungen in univariate Randverteilungen und die Abhängigkeitsstruktur zerlegen lassen.
Anhand zweier simulierter, abhängiger Wertpapiere mit Student's-t-Marginalverteilungen werden ausgewählte Copula-Familien elliptischer und Archimedischer Copulas vorgestellt und deren Auswirkungen auf den mittels Monte Carlo-Simulation berechneten Portfolio-VaR analysiert. Die Ergebnisse zeigen, dass das Modell einer multivariaten Normalverteilung erheblich verbessert werden kann, in dem die Abhängigkeitsstruktur mit Copulas dargestellt wird. Festzuhalten bleibt auch, dass der Korrelationskoeffizient nach Pearson eine gute Approximation darstellt, wenn elliptische Verteilungen zugrunde liegen.
Einsatzgebiete für Copulas finden sich insbesondere in den gestiegenen aufsichtsrechtlichen Anforderungen im Hinblick auf die ganzheitliche quantitative Risikomessung (Basel II, MaRisk).