Numerik linearer Gleichungssysteme (PDF)

Erarbeitung weiterer Verfahren zu erleichtern.

Die vorausgesetzten Grundkenntnisse beschränken sich hierbei gezielt aufübliche Inhalte der Analysis und linearen Algebra mathematischer Vorlesungen in den ersten zwei Semestern eines Hochschulfaches, da die beschriebenen Methoden weit über die Grenzen eines Mathematikstudiums von großem Interesse sind. Zur Unterstützung eines Selbststudiums werden zudem alle benötigten Grundlagen in einem eigenständigen Kapitel bereitgestellt.

Nachdem das Auftreten linearer Gleichungssysteme im ersten Kapitel anhand einiger Modellbeispiele beschrieben wird, stellen wir im zweiten Kapitel die für die folgenden Methoden benötigten Grundlagen der linearen Algebra zur Verfügung. Das dritte Kapitel widmet sich den direkten Verfahren, die häufig in modernen Gleichungssystemlösern involviert sind oder teilweise in unvollständigen Versionen als Vorkonditionierer verwendet werden.

Der Schwerpunkt liegt auf der Beschreibung iterativer Verfahren, die im anschließenden vierten Kapitel vorgestellt werden. Hierbei wird stets besonderen Wert auf eine Motivation sowie eine übersichtliche, einheitliche und mathematisch abgesicherte Herleitung der iterativen Gleichungssystemlöser gelegt. Neben den Splitting-Methoden, wie zum Beispiel dem Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren, der Richardson-Iteration und den Relaxationsverfahren, beschreiben wir zun chst die Zweigittermethode und anschließend das Mehrgitterverfahren sowie dessen vollst ndige Variante. Die Herleitung des CG-Verfahrens nehmen wir durch eine Kombination der zuvor beschriebenen Verfahren des steilsten Abstiegs und der konjugierten Richtungen vor.

Desweiteren betrachten wir vom GMRES-Verfahren uber die BiCG-Methode bis zum QMRCGSTAB-Verfahren eine große Bandbreite moderner Krylov-Unterraum-Methoden, die zur L sung von Gleichungssystemen mit einer unsymmetrischen und indeffiniten Matrix geeignet sind. Das abschließende fünfte Kapitel ist einer ausführlichen Beschreibung und Untersuchung m glicher Pr konditionierungstechniken gewidmet, da die dargestellten Verfahren bei praxisrelevanten Problemstellungen in der Regel erst in Kombination mit einem geeigneten Vorkonditionierer eine stabile und effiziente Gesamtmethode liefern.