Das lebendige Theorem

Mein Mitstreiter, Clément Mouhot, steht mit funkelnden Augen und einem Stift in der Hand neben der großen weißen Tafel, die die gesamte Wand vor mir bedeckt.

- Nun sag' schon, warum ich kommen sollte, worum geht es bei deinem Projekt? In deiner Mail hast du ja nicht allzu viele Einzelheiten erwähnt ... - Ich fange wieder mit meinem alten Dämon an, natürlich ist das sehr ehrgeizig, nämlich die Regularität für die inhomogene Boltzmann-Gleichung. - Bedingte Regularität? Du meinst, modulo minimaler Regularitätsschranken? - Nein, unbedingte. - Sapperlot! Nicht in einem störungstheoretischen Rahmen? Glaubst du, dass wir dafür schon bereit sind? - Ja, ich habe wieder damit angefangen, ich habe recht gute Fortschritte gemacht, ich habe zwar einige Ideen, aber hier komme ich nicht weiter. Ich habe die Schwierigkeit anhand mehrerer vereinfachter Modelle analysiert, aber selbst das einfachste funktioniert nicht so richtig. Ich habe geglaubt, die Sache mit einer Art Maximumprinzip in den Griff zu bekommen, aber nein, alles brach zusammen. Ich muss darüber reden. - Also los, ich höre dir zu. Meine Ausführungen ziehen sich in die Länge: das Ergebnis, das mir vorschwebt, meine Ansätze, die verschiedenen Teile, die ich nicht miteinander verknüpfen kann, und das logische Rätsel, das sich nicht auflöst, die Boltzmann-Gleichung, die widerspenstig bleibt.

Die Boltzmann-Gleichung, die schönste Gleichung der Welt, wie ich zu einem Journalisten gesagt habe! Ich bin in sie hineingestürzt, als ich noch klein war, d. h. während meiner Dissertation, und ich habe sämtliche Aspekte von ihr untersucht. In der Boltzmann-Gleichung findet man alles: die statistische Physik, den Zeitpfeil, die Mechanik der Fluiden, die Wahrscheinlichkeitstheorie, die Informationstheorie, die Fourieranalyse ... Manche sagen, dass niemand auf der Welt besser als ich die mathematische Welt kennt, die von dieser Gleichung erzeugt wird.

Vor sieben Jahren habe ich Clément in dieses geheimnisvolle Universum eingeführt, als er unter meiner Betreuung seine Dissertation begonnen hat. Clément hat wissbegierig gelernt, er ist gewiss der Einzige, der alle meine Arbeiten zur Boltzmann-Gleichung gelesen hat; jetzt ist er ein angesehener, selbständiger, brillanter und begeisterter Forscher.

Vor sieben Jahren habe ich ihm in den Sattel geholfen, heute brauche ich seine Hilfe. Ich habe mit einem überaus schwierigen Problem zu tun, und ganz alleine schaffe ich es nicht; zumindest muss ich meine Anstrengungen jemandem erzählen können, der die Theorie durch und durch kennt.

- Nehmen wir an, dass streifende Kollisionen vorhanden sind. Einverstanden? Ein Modell ohne Cut-off. Dann verhält sich die Gleichung wie eine fraktionäre Diffusion, die zwar degeneriert ist, aber doch eine Diffusion, und sobald wir Schranken für die Dichte und Temperatur haben, kann man es mit einem Moser-Schema versuchen, das angepasst werden muss, um der Nichtlokalität Rechung zu tragen. - Moser-Schema? Hmmm ... Warte mal, ich werde mir Notizen machen. - Ja, ein moserähnliches Schema. Der Schlüssel ist, dass der Boltzmannoperator ... es stimmt, dieser Operator ist bi- linear, er ist nichtlokal, aber trotzdem hat er die Form einer Divergenz. Und das ist es, was das Moser-Schema in Gang setzt. Du nimmst eine Änderung an der nichtlinearen Funktion vor, du erhöhst die Potenz ... Und tatsächlich brauchen wir etwas mehr als die Temperatur, man muss die Matrix der Momente 2. Ordnung kontrollieren. Aber trotzdem ist das Wesentliche die Positivität.

- Warte, nicht so schnell, warum genügt die Temperatur nicht? Ich gebe eine lange Erklärung; wir diskutieren, wir werfen Zweifel auf. Die Tafel wird übersät mit mathematischen Symbolen, Clément will mehr über die Positivität wissen. Wie kann man die strenge Positivität ohne Regularitätsschranke beweisen? Ist das überhaupt möglich?

- Wenn Du es genau betrachtest, ist es gar nicht so krass. Die Kollisionen führen zu unteren Schranken, der Transport in einem beschränkenden Bereich ebenfalls, das geht in die richtige Richtung; die beiden Effekte sollten sich verstärken, es sei denn, man hätte wirklich Pech. Zeitweise hatte Bernt es versucht und sich festgefahren. Nun, eine ganze Reihe von Leuten hat es versucht, zwar ohne Erfolg, aber es bleibt plausibel. - Bist du sicher, dass die Fortpflanzung ohne Regularität zur Positivität führt? Ohne Kollisionen transportierst du doch den Dichtewert, dann wird das nicht noch mehr positiv ... - Ja, aber wenn man über die Geschwindigkeit mittelt, verstärkt das die Positivität ... etwa so wie die Lemmata der kinetischen Mittelwerte, aber da ist es keine Regularität, da ist es Positivität. Es stimmt zwar, dass niemand es unter diesem Blickwinkel intensiv untersucht hat. Da fällt mir ein ... schau mal, vor zwei Jahren hat mir ein chinesischer Postdoktorand in Princeton eine Frage von ungefähr dieser Art gestellt. Du nimmst eine Transportgleichung, sagen wir auf dem Torus, du setzt null Regularität voraus, du willst beweisen, dass die räumliche Dichte streng positiv wird. Ohne Regularität! Er konnte es für den freien Transport beweisen oder für etwas Allgemeineres in einem kleinen Zeitintervall, aber bei einem größeren Zeitintervall war er aufgeschmissen ... Damals habe ich seine Frage an andere Leute weitergegeben, aber keine überzeugende Antwort bekommen.

- Aber warte mal, was machst du mit dem blöden freien Transport? Freier Transport, das ist der Fachbegriff zur Bezeichnung eines idealen Gases, in dem die Teilchen nicht miteinander interagieren. Ein so sehr vereinfachtes Modell, dass es kaum noch realistisch ist. Dennoch ist es oft sehr lehrreich.

- Na ja, mit der expliziten Lösung müsste es klappen, warte, wir versuchen mal, es zu finden. Jeder von uns macht sich auf die Suche, Dong Lis Gedankengang wiederzufinden. Es ist kein großes Ergebnis, sondern eher eine kleine Übung. Aber vielleicht wird uns das Verständnis der Lösung dieser kleinen Übung auf den Weg bringen, um das große Rätsel zu lösen. Und dann ist es ja auch ein Spiel! Nach einigen Minuten stillen Gekritzels bin ich der Gewinner.

- Ich glaube, ich hab's. Ich gehe zur Tafel, um die Lösung anzuschreiben, wie in einer Stunde, in der die Übungen korrigiert werden.

- Man zerlegt die Lösung nach Torusrepliken ... in jedem Teil ändert man Variablen ... heraus kommt eine Jacobi-Matrix, du nimmst die Lipschitz-Regularität ... und schließlich findest du eine Konvergenz gemäß 1/t (»eins über t«). Das ist zwar langsam, klingt aber gut. - Wie, dann hast du aber keine Regularisierung ... die Konvergenz wird im Mittel erreicht ... im Mittel ... Clément denkt angesichts meiner Rechnung laut nach. Plötzlich verklärt sich sein Gesicht, er ist ganz erregt und deutet mit dem Zeigefinger in Richtung Tafel:

- Aber dann sollte man untersuchen, ob das nicht für die Landau-Dämpfung nützlich sein könnte! Ich bin verblüfft. Drei Sekunden Schweigen. Ein undeutliches Gefühl von etwas Bedeutendem. Ich verlange Erklärungen. Clément wird unsicher, gibt sich Mühe, erklärt mir, dass dieser Beweis ihn an eine Diskussion erinnert, die er vor drei Jahren über diese Dinge mit einem anderen chinesischen Forscher namens Yan Guo in Providence an der Ostküste der Vereinigten Staaten hatte.

- Bei der Landau-Dämpfung sucht man nach einer Relaxation für eine reversible Gleichung ... - Ja, ja, ich weiß, aber spielt denn die Interaktion keine Rolle? Man sollte nicht an Wlassow denken, hier geht es nur um den freien Transport! - Vielleicht sollte die Interaktion doch eine Rolle spielen, ja, und dann ... müsste die Konvergenz exponentiell sein. Glaubst du, dass 1/t optimal ist? - Klingt doch gut, oder? - Aber wenn die Regularität stärker wäre? Wäre das nicht besser? - Hmrmrm. Ich brumme vor mich hin. Eine Mischung aus Zweifel und Konzentration, aus Interesse und Frustration. Nach einigen Augenblicken Schweigen, starrer Blicke und zusammengepresster Lippen geht der Austausch weiter ... So spannend sie auch sein mag, hat doch die mythische (und mystische?) Landau-Dämpfung nichts mit unserem ursprünglichen Forschungsprojekt zu tun; nach einigen Minuten gehen wir zu etwas anderem über. Die Diskussion geht lange weiter. Nach und nach setzt sich unsere Reise durch mathematische Fragen fort. Wir machen Notizen, wir argumentieren, wir entrüsten uns, wir lernen, wir bereiten einen Angriffsplan vor. Als wir uns trennen, steht die Landau-Dämpfung trotzdem auf der langen Liste der zu erledigenden Hausaufgaben.

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Die Boltzmann-Gleichung wurde um 1870 entdeckt. Sie modelliert die Entwicklung eines verdünnten Gases, das aus Abermilliarden von Teilchen besteht, die miteinander zusammenstoßen: Man stellt die statistische Verteilung der Positionen und Geschwindigkeiten dieser Teilchen durch eine Funktion f (t, x, v) dar, die zum Zeitpunkt t die Dichte der Teilchen angibt, deren Position (ungefähr) x und deren Geschwindigkeit (ungefähr) v ist.

Der österreichische Physiker Ludwig Boltzmann entdeckte den statistischen Begriff der Entropie oder Unordnung eines Gases:

Mit seiner Gleichung bewies er, dass die Entropie von einem beliebigen Anfangszustand aus im zeitlichen Verlauf nur zunehmen und niemals abnehmen konnte. Bildlich gesprochen wird das Gas, wenn es sich selbst überlassen bleibt, spontan immer ungeordneter, und diese Entwicklung ist irreversibel.

Mit dem Anwachsen der Entropie fand Boltzmann erneut ein Gesetz, das einige Jahrzehnte zuvor experimentell entdeckt wurde und unter der Bezeichnung Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik bekannt war; aber er erweiterte dieses Gesetz durch mehrere außergewöhnliche begriffliche Beiträge. Zunächst ersetzte er ein empirisches Gesetz, das experimentell beobachtet und zu einem Prinzip erhoben wurde, durch einen auf Argumenten beruhenden Beweis; dann führte er eine äußerst fruchtbare mathematische Interpretation der geheimnisvollen Entropie ein; und schließlich brachte er die - unvorhersagbare, chaotische und reversible - Mikrophysik mit einer vorhersagbaren und irreversiblen Makrophysik in Einklang. Durch diese Beiträge verdient Boltzmann einen erlesenen Platz im Pantheon der theoretischen Physik sowie die immer wieder neue Aufmerksamkeit der Philosophen und Erkenntnistheoretiker.


Ludwig Boltzmann

Boltzmann definierte dann den Gleichgewichtszustand eines statistischen Systems als einen Zustand maximaler Entropie und begründete damit das unermessliche Gebiet der statistischen Gleichgewichtsphysik: Der ungeordnetste Zustand ist der natürlichste.

Der eroberungslustige junge Boltzmann machte nach und nach einem gequälten alten Mann Platz, der sich 1906 das Leben nahm. Seine Abhandlung der Theorie der Gase, die immer noch aktuell ist, erscheint im Nachhinein als eines der wichtigsten wissenschaftlichen Werke des 19. Jahrhunderts. Aber seine Vorhersagen, die durch die Erfahrung bestätigt wurden, warten immer noch auf eine vollständige mathematische Theorie; eines der fehlenden Teile des Puzzles ist die Untersuchung der Regularität der Lösungen der Boltzmann-Gleichung. Trotz dieses fortbestehenden Rätsels oder vielleicht auch zum Teil deswegen ist die Boltzmann-Gleichung jetzt Gegenstand einer blühenden Theorie; sie beschäftigt eine internationale Gemeinschaft von Mathematikern, Physikern und Ingenieuren, die sich zu Hunderten auf Konferenzen zum Thema Rarefied Gas Dynamics und bei vielen anderen Anlässen versammeln.


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