Monotonie: Lösbarkeit und Numerik bei Operatorgleichungen
E.1 Bei der Untersuchung allgemeiner Operatorgleichungen spie len Lipschitz- und Wachstumsbeschrankungen eine zentrale Rolle. 1m FaIle von Gleichungen in reellen Funktionenraumen konnen Lipschitz konstante oder Wachstumsbeschrankung durchweg als monotone...
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Klappentext zu „Monotonie: Lösbarkeit und Numerik bei Operatorgleichungen “
E.1 Bei der Untersuchung allgemeiner Operatorgleichungen spie len Lipschitz- und Wachstumsbeschrankungen eine zentrale Rolle. 1m FaIle von Gleichungen in reellen Funktionenraumen konnen Lipschitz konstante oder Wachstumsbeschrankung durchweg als monotone Operatoren interpretiert werden. Dieser Sachverhalt legt es nahe, das Prinzip der Monotonie in den Mittelpunkt der Behandlung von Opera torgleichungen zu rticken. Hierdurch ist der Ausgangspunkt des vor liegenden Buches gekennzeichnet. Die Begriffe Lipschitz- und Wachs tumsbeschrankung beschreiben zugleich den Charakter der nichtlinearen Aufgaben, welche betrachtet werden sollen. E.2 Monotone Operatoren setzen die Struktur einer Halbordnung auf ihren Definitions- und Wertebereichen voraus. Die Kapitel lund II geben eine EinfUhrung in die Theorie der halbgeordneten Vektor raume, welche hauptsachlich das Zusammenspiel von Ordnungsstruktur und Normtopologie diskutiert. Dieser Stoff ist tiblicherweise in den Lehrbtichern als Teil einer allgemeinen Theorie halbgeordneter topo logischer Vektorraume zu find en. Es ware schon, wenn hier eine brauch bare Darstellung fUr solche Leser gelungen sein sollte, welche sich nur fUr den im Text behandelten Ausschnitt interessieren. 1m Mittelpunkt der Kapitel III, IV und V steht die iterative Be handlung von Operatorgleichungen. Damit sind Existenzfragen und praktische Berechnung gemeinsam angesprochen. Der Weg tiber ein Iterationsverfahren fordert von dem monotonen linear en Operator, welcher die Lipschitzkonstante oder den linearen Teil der Wachstums beschrankung ausmacht, daB sein Spektralradius im Intervall [0,1) liegt. 1m Lipschitzbeschrankten Fall ist dies Ausdruck der Kontraktion.
Inhaltsverzeichnis zu „Monotonie: Lösbarkeit und Numerik bei Operatorgleichungen “
0. Voraussetzungen und Bezeichnungen.- 1. Mengen, Relationen, Funktionen.- 2. Metrische Räume.- 3. Operatoren auf metrischen Räumen.- 4. Vektorräume.- 5. Normierte Räume.- 6. Operatoren auf normierten Räumen.- I. Ordnungsstrukturen.- 1. Halbgeordnete Mengen.- 2. Halbgeordnete Vektorräume.- 3. Zwei Funktionale.- 4. Ordnungstopologie.- 5. Abstände.- II. Ordnungsstrukturen und Normen.- 1. Das Minkowskifunktional der gesättigten Hülle der Einheitskugel.- 2. Normale Kegel.- 3. Abgeschlossene Kegel.- 4. Kegel mit nichtleerem Inneren.- 5. h.n. Räume.- 6. Abstandsräume.- III. Monotone, lineare Operatoren.- 1. Spektralradius und Operatornorm.- 2. Homogene, monotone Operatoren.- 3. Spektralradius und Eigenwert.- 4. Vergleich von Spektralradien.- IV. Iteration mit P-beschränkten Operatoren.- 1. Monotone Operatoren.- 2. P-beschränkte Operatoren.- 3. Gleichungen mit P-beschränkten Operatoren.- 4. Der klassische Kontraktionssatz.- 5. Iteration in h.n. Räumen.- 6. Diskussion der Anfangsbedingung.- 7. Konstruktion von Anfangselementen.- V. Iteration mit monotonen Operatoren.- 1. Monotone Operatoren mit g-homogenen Majoranten.- 2. Reine Existenzaussagen.- 3. Monoton-zerlegbare Operatoren.- VI. Iterative Behandlung allgemeiner Gleichungssysteme.- 1. Die kanonische Halbordnung des ?m.- 2. Nichtnegative Matrizen.- 3. Der Spektralradius einer nichtnegativen Matrix.- 4. P-Beschränktheit auf Teilmengen, Gesamt- und Einzelschrittverfahren.- 5. Konvergenzfragen bei der Iteration mit einem P-beschränkten Vektorfeld.- 6. Konvergenzfragen bei der iterativen Behandlung linearer Gleichungssysteme.- 7. Iterative Behandlung diskreter Probleme von Randwertaufgaben.- 8. Fehlerabschätzungen bei Gleichungssystemen mit einem P-beschränkten Feld.- 9. Praktische Durchführung einerFehlerabschätzung.- 10. Zeilensummenkriterien und Konvergenz.- 11. Existenzaussagen bei Gleichungssystemen.- 12. Randwertaufgaben und ihre Diskretisierungen.- VII. Existenzfragen bei Integralgleichungen.- 1. Die kanonische
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Halbordnung des ??.- 2. Integraloperatoren.- 3. Vollstetige, lineare Integraloperatoren.- 4. Monotone, lineare Integraloperatoren.- 5. Eine Klasse streng-monotoner, linearer Integraloperatoren.- 6. Eine Klasse P-beschränkter Integraloperatoren: Anwendungen des Kontraktionsprinzips.- 7. Weitere Klassen nichtlinearer Integraloperatoren: Anwendungen des Monotonie- und Schauderprinzips.- Symbolliste.- Namenverzeichnis.
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Bibliographische Angaben
- Autor: E. Bohl
- 2012, Softcover reprint of the original 1st ed. 1974, 258 Seiten, 9 Abbildungen, Maße: 15,5 x 23,5 cm, Kartoniert (TB), Deutsch
- Verlag: Springer, Berlin
- ISBN-10: 3642656234
- ISBN-13: 9783642656231
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